Osmiúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
pravidelný osmiúhelník

Osmiúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s osmi vrcholy a osmi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního osmiúhelníku je 1080° (6π).

Pravidelný osmiúhelník[editovat | editovat zdroj]

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost \frac{3\pi}{8} a při vrcholu \frac{\pi}{4}. Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Parametry[editovat | editovat zdroj]

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy:

  • střed symetrie osmiúhelníka: S
  • vrcholy, po obvodu: V1 .. V8
  • délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů
  • středy stran, po obvodu: A1 .. A8
Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit
  • na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body VnSVn+1,
    • jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy \pi/4 = 45°.
  • nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body AnSVn,
    • se středovým úhlem \pi/8 = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu:

R=\sqrt{r^2 + (a/2)^2}.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně:

cotg(22,5^\circ) = 1+\sqrt{2}.
Obsah pravidelného osmiúhelníku (v obrázku označený A) může být určen ořezáním čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S).
Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr
  • kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu:
a=2R \cdot sin(22,5^\circ).
    • tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně:
D≈2,61·a.
  • kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále:
r=a/2 \cdot cotg(22,5^\circ) = a/2 \cdot (1+\sqrt{2}) nebo inverzně a/2 = r \cdot tg(22,5^\circ) = r / (1+\sqrt{2}).
    • tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně:
d≈2,41·a.
Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti
  • obvod: o = 8 \cdot a.
  • obsah:
    • pomocí trojúhelníků z polárního dělení:
S = 4ar = \frac{8r^2}{(1+\sqrt{2})}.
    • oříznutím z úplného čtverce:
S = 4r^2-a^2 = (a\sqrt{2} + a + a\sqrt{2})^2 - a^2 = 2(1+\sqrt{2}) a^2.

Konstrukce osmiúhelníku[editovat | editovat zdroj]

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku pomocí kružítka a pravítka v 18 krocích:

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku