Osmiúhelník

pravidelný osmiúhelník

Osmiúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s osmi vrcholy a osmi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního osmiúhelníku je 1080° (6π).

Pravidelný osmiúhelník

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost $\frac{3\pi}{8}$ a při vrcholu $\frac{\pi}{4}$. Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Parametry

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy:

• střed symetrie osmiúhelníka: S
• vrcholy, po obvodu: V₁ .. V₈
• délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů
• středy stran, po obvodu: A₁ .. A₈

Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit

• na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body V_nSV_n+1,
  • jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy $\pi/4$ = 45°.
• nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body A_nSV_n,
  • se středovým úhlem $\pi/8$ = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu:

$R=\sqrt{r^2 + (a/2)^2}$.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně:

$cotg(22,5^\circ) = 1+\sqrt{2}$.

Obsah pravidelného osmiúhelníku (v obrázku označený A) může být určen ořezáním čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S).

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr

• kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu:

$a=2R \cdot sin(22,5^\circ)$.

• • tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně:

D≈2,61·a.

• kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále:

$r=a/2 \cdot cotg(22,5^\circ) = a/2 \cdot (1+\sqrt{2})$ nebo inverzně $a/2 = r \cdot tg(22,5^\circ) = r / (1+\sqrt{2})$.

• • tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně:

d≈2,41·a.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti

• obvod: $o = 8 \cdot a$.
• obsah:
  • pomocí trojúhelníků z polárního dělení:

$S = 4ar = \frac{8r^2}{(1+\sqrt{2})}$.

• • oříznutím z úplného čtverce:

$S = 4r^2-a^2 = (a\sqrt{2} + a + a\sqrt{2})^2 - a^2 = 2(1+\sqrt{2}) a^2$.

Konstrukce osmiúhelníku

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku pomocí kružítka a pravítka v 18 krocích: