Pětiúhelník

Pravidelný pětiúhelník
Obsah	$S = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{4}a^{2}$
Poloměr kružnice opsané	$r_{o} = \frac{\sqrt(50+10 \sqrt{5})}{10}a$
Poloměr kružnice vepsané	$r_{v} = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{10}a$
Úhel u vrcholu	108°
Délka nejdelší úhlopříčky	$l_{u} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}a$ (zlatý řez)

Pětiúhelník (cizím slovem pentagon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Vlastnosti

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

• poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
• jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru $1:1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Historie

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce

Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu $S$ [$x_0$; $y_0$], obdržíme při poloměru kružnice opsané $k$ a natočení vrcholu nejbližšího ose $x$ v jejím kladném směru o úhel $\omega$ oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

	x	y
$X_1$	$x_0 + k \cdot \cos \omega \,\!$	$y_0 + k \cdot \sin \omega \,\!$
$X_2$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\!$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\!$
$X_3$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{4\pi}{5}) \,\!$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{4\pi}{5}) \,\!$
$X_4$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{6\pi}{5}) \,\!$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{6\pi}{5}) \,\!$
$X_5$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{8\pi}{5}) \,\!$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{8\pi}{5}) \,\!$

Pro body vnitřního pětiúhelníku pak platí následující souřadnice:

	x	y
$Y_1$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_2$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_3$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_4$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$
$Y_5$	$x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$	$y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}$