Pětiúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Pravidelný pětiúhelník
Pentagon.svg
Obsah S = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{4}a^{2}
Poloměr kružnice opsané r_{o} = \frac{\sqrt(50+10 \sqrt{5})}{10}a
Poloměr kružnice vepsané r_{v} = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{10}a
Úhel u vrcholu 108°
Délka nejdelší úhlopříčky l_{u} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}a (zlatý řez)

Pětiúhelník (cizím slovem pentagon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost \frac{3\pi}{10} a při vrcholu \frac{2\pi}{5}.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru 1:1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu S [x_0; y_0], obdržíme při poloměru kružnice opsané k a natočení vrcholu nejbližšího ose x v jejím kladném směru o úhel \omega oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

x y
X_1 x_0 + k \cdot \cos \omega \,\! y_0 + k \cdot \sin \omega \,\!
X_2 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\! y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{2\pi}{5}) \,\!
X_3 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{4\pi}{5}) \,\! y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{4\pi}{5}) \,\!
X_4 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{6\pi}{5}) \,\! y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{6\pi}{5}) \,\!
X_5 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{8\pi}{5}) \,\! y_0 + k \cdot \sin (\omega +\frac{8\pi}{5}) \,\!

Pro body vnitřního pětiúhelníku pak platí následující souřadnice:

x y
Y_1 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}
Y_2 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{3\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}
Y_3 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} y_0 + k \cdot \sin (\omega + \pi) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}
Y_4 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{7\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}
Y_5 x_0 + k \cdot \cos (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2} y_0 + k \cdot \sin (\omega + \frac{9\pi}{5}) \cdot \frac {3 - \sqrt{5}}{2}