Čtyřúhelník

Čtyřúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.

Vlastnosti

Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníka je roven 360° (2π), což vyplývá z toho, že jej lze úhlopříčkou rozdělit na dva trojúhelníky.

Obvod čtyřúhelníku o stranách a, b, c, d je roven

$O = a + b + c + d = 2s,$

kde s je poloviční obvod, vyskytující se v dalších vzorcích.

Obsah čtyřúhelníka je roven

$S = \frac{1}{2}e f \sin\varphi$,

kde e, f jsou délky úhlopříček a φ je (libovolný) úhel, který svírají.

Klasifikace čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky mohou být konvexní (vypuklé) anebo nekonvexní (konkávní, duté). Konvexní se dále dělí na různoběžník – žádné dvě protilehlé strany nejsou rovnoběžné rovnoběžník (kosodélník) – dvě a dvě protilehlé strany jsou rovnoběžné obdélník – všechny vnitřní úhly jsou pravé kosočtverec – všechny strany mají stejnou délku čtverec – všechny strany mají stejnou délku a všechny vnitřní úhly jsou pravé lichoběžník – jeden pár protilehlých stran je rovnoběžný deltoid – dvě dvojice vzájemně přiléhajících stran mají stejnou velikost Pro některé čtyřúhelníky se používá zvláštní označení, např.: tětivový čtyřúhelník – čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici tečnový čtyřúhelník – čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici dvojstředový čtyřúhelník – čtyřúhelník, kterému lze mu opsat i vepsat kružnici

Konvexní čtyřúhelník

Konvexní čtyřúhelník má všechny vnitřní úhly konvexní.

Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:

$S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)},$

kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníka, s jeho poloviční obvod, α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).

Odtud plyne, že čtyřúhelník s danou posloupností stran má největší obsah, pokud je to tětivový čtyřúhelník.

Související články

• Geometrický útvar

Externí odkazy

Geometrie živě – čtyřúhelníky