Věty o shodnosti trojúhelníku

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Dva trojúhelníky ABC a A´B´C´ se nazývají shodné trojúhelníky, jestliže je lze přemístit tak, že se úplně kryjí - tedy že bod A přiléhá na bod A', bod B na bod B'a bod C na bod C'. Věty o shodnosti trojúhelníků vyjadřují, jaké všechny údaje musíme znát, abychom nemohli podle stejných trojúhelníku narýsovat jinak rozměrné trojúhelníky. Aby byla konstrukce takových trojúhelníků proveditelná, u všech vět, kromě sss, kde je úhel dán délkami stran, musíme nejprve začít se stranou, o které máme dva údaje.

Věty o shodnosti trojúhelníku známe čtyři:

  1. Věta „sss“
  2. Věta „sus“
  3. Věta „usu“
  4. Věta „ssu“

Věta „sss“[editovat | editovat zdroj]

Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech sobě odpovídajících stranách, pak jsou shodné.
Protože |AB| = |XY|, můžeme trojúhelník XYZ přemístit tak, aby bod X splynul s bodem A a bod Y s bodem B. Podívejme se, kam se při tom přemístil třetí vrchol Z. Protože |XZ| = b a |YZ| = a, leží bod Z na kružnicích c(A,b) a d(B,e). Ty se protínají ve dvou bodech, C a C', které jsou souměrně sdružené podle přímky AB.

Bod Z se tedy přemístil buď do bodu C, nebo do bodu C'. Přemístěný trojúhelník XYZ je v prvním případě totožný s trojúhelníkem ABC. V druhém případě jsou tyto trojúhelníky sdružené podle osy AB. V obou případech jsou trojúhelníky ABC a XYZ shodné.

Věta „sus“[editovat | editovat zdroj]

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeným, jsou shodné.

Jednoznačnost konstrukce trojúhelníku, sestrojeného podle této věty nemůže být zpochybněna z toho důvodu, že v momentě kdy máme danou úsečku AB ekvivalentní úsečce XZ, bod C a posléze pod Y, může ležet pouze na polopřímce, která svírá se stranou AC (XZ) nám známý úhel α (protože úhel ACB je dopředu určený a proto bod C nemůže ležet mimo tento úhel) a na kružnici se středem v bodě A (X) a poloměrem délky strany AB (XY) - protože hledáme bod, který je od bodu A (X) vzdálen danou vzdálenost a množina bodů, které jsou stejně vzdálené od jednoho bodu je právě ona kružnice. Taková konstrukce má pak pouze jediné řešení - a proto není šance, že by se trojúhelníky ABC a XYZ mohl lišit.

Věta „usu“[editovat | editovat zdroj]

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, jsou shodné.
Tuto skutečnost opět vysvětlíme pomocí přemístění trojúhelníku XYZ do takové polohy, kdy vrchol X splyne s vrcholem A a vrchol Y s bodem B. Zjistíme, kam se přemístil bod Z. Jistě můžeme předpokládat, že přemístěný bod Z leží v téže polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C (jinak totiž lze trojúhelník XYZ „překlopit“ kolem strany XY do opačné poloroviny). Protože |úhel ZXY| = α, leží přemístěný bod Z na polopřímce AC. Protože |úhel XYZ| = ß, leží bod Z i na polopřímce BC. Polopřímky AC a BC mají pouze jediný společný bod – bod C. Proto se přemístěný trojúhelník XYZ kryje s trojúhelníkem ABC.

Věta „ssu“[editovat | editovat zdroj]

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a úhlu proti delší z nich, jsou shodné.

Věta o shodnosti trojúhelníku ssu je jediná z vět, které známe, kde rozlišujeme delší a kratší stranu - kdybychom totiž měli dán úhel proti menší ze stran, vyšlo by nám více řešení, které by splňovaly všechny podmínky - a tak bychom nemohli skutečně říct o dvou takto narýsovaných trojúhelnících, jsou-li doopravdy shodné. Musíme proto psát název této věty s velkým písmenem S na začátku - tato skutečnost znázorňuje právě fakt, že jedna ze stran trojúhelníku je delší.

Správnost této věty se taktéž projevuje v jediném řešení konstrukce podle údajů, které v příkladech, které lze řešit podle věty ssu. Konstrukce pak probíhá takto: Je důležité, abychom nejprve sestrojili kratší úsečku AC s danou hodnotou - vždy musíme začít se stranou o které máme dva údaje. Po té pokračujeme úhlem γ, též daným ze zadání. Bod B se musí nacházet na kružnici se středem v bodě A a poloměrem rovným dané délce strany c. Nikde jinde, než na této kružnici a na úhlu ACX se bod B vyskytovat nemůže. A protože může existovat pouze jediný bod, který splňuje tyto podmínky, trojúhelník, narýsovaný podle daných údajů bude vždy shodný s jakýmkoli jiným, který tyto podmínky splňuje.