Neeukleidovská geometrie

Trojúhelník se třemi pravými úhly v eliptické geometrii.

Rovnostranný trojúhelník v eliptické, hyperbolické a Eukleidovské geometrii.

Neeukleidovská geometrie je obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři Eukleidovy postuláty), které nesplňují pátý Eukleidův postulát. Jejími nejdůležitějšími případy jsou hyperbolická geometrie, eliptická geometrie (a její zvláštní případ sférická geometrie), Riemannova geometrie a absolutní geometrie. Geometrie splňující i pátý postulát se nazývá eukleidovská.

Historie

Již od antiky se nejlepší světoví matematikové snažili podat důkaz, že pátý Eukleidův postulát je důsledkem prvních čtyř. Tento postulát je totiž výrazně složitější než postuláty zbylé, a to nejen svým zněním ale také významem - nepopisuje totiž žádnou fundamentální vlastnost základních geometrických objektů ale je spíše jistým netriviálním tvrzením o nich. Výsledkem těchto neúspěšných pokusů o důkaz je celý seznam vět, které jsou ekvivalentní s pátým postulátem (tj. mohou jej nahradit). Mezi ně patří například věta „součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým“ nebo Pythagorova věta.

Všechny pokusy o důkaz tohoto postulátu ukončil až v roce 1829 Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, když sestrojil hyperbolickou geometrii, v níž pátý postulát neplatí.

Chování rovnoběžek v různých geometriích

Chování rovnoběžek v eukleidovské a dvou neeukleidovských geometriích.

Hlavním rozdílem neeukleidovské a eukleidovské geometrie je povaha rovnoběžek. Eukleidův pátý postulát je ekvivalentní tvrzení, že pro každou přímku p a bod A, který neleží na p, existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která neprotíná p. Naproti tomu v hyperbolické geometrii existuje nekonečně mnoho přímek procházejících bodem A a neprotínajících p, v eliptické geometrii se naopak jakákoliv dvojice přímek vzájemně protíná.

Další možný způsob popisu odlišností mezi těmito geometriemi je následující: uvažujme dvě přímky v dvojrozměrné rovině, které jsou kolmé k třetí přímce. V Eukleidovské geometrii mají takové přímky stejnou vzdálenost a označujeme je jako rovnoběžky. V hyperbolické geometrii jsou "zakřivené od sebe" a směrem od společné kolmice jejich vzdálenost roste. V eliptické geometrii jsou "zakřivené k sobě" až se protnou. Z tohoto důvodu neexistují v eliptické geometrii rovnoběžky.

Související články

• Eukleidovská geometrie
• Hyperbolická geometrie
• Eliptická geometrie
• Riemannova geometrie
• Absolutní geometrie
• János Bolyai
• Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

Reference

• Vopěnka, P., Rozpravy s geometrií - Otevření neeukleidovských geometrických světů, Medůza, 1995