Cantorova-Heineova věta

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

V matematice Cantorova-Heine věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi a , říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Toto není Cantorova věta.

Důkaz

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0$ takové, že $d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x) , f(y) ) < \varepsilon$ pro každé x, y z M

je:

$\exists \varepsilon_0 > 0$ takové, že $\forall \delta > 0 , \ \exists x, y \in M$ tak, že $\ d(x,y) < \delta$ a $\rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0$.

kde d a $\rho$ jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti x_n a y_n takové, že

$d(x_n, y_n) < \frac {1}{n}$ a $\rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0$.

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti ($x_{n_k}$ konvergující k x₀ a $y_{n_k}$ k y₀), takové, že

$d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow \rho ( f (x_{n_k}), f (y_{n_k})) \ge \varepsilon_0$

ale protože f je spojitá a $x_{n_k}$ a $y_{n_k}$ konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Související články

• Georg Cantor
• Eduard Heine

Literatura

Tento článek potřebuje doplnit či upravit literaturu.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že na konec článku přidáte (resp. upravíte) literaturu a uvedete vhodné knihy, ze kterých lze o daném tématu čerpat více informací.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.