Cantorova-Heineova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice Cantorova-Heine věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi a , říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Toto není Cantorova věta.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 takové, že  d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x) , f(y) ) < \varepsilon pro každé x, y z M

je:

\exists \varepsilon_0 > 0 takové, že \forall \delta > 0 , \  \exists x, y \in M tak, že \ d(x,y) < \delta a  \rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0.

kde d a \rho jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti xn a yn takové, že

 d(x_n, y_n) < \frac {1}{n} a  \rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0.

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti (x_{n_k} konvergující k x0 a y_{n_k} k y0), takové, že

d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow \rho ( f (x_{n_k}), f (y_{n_k})) \ge \varepsilon_0

ale protože f je spojitá a x_{n_k} a y_{n_k} konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.