Totálně omezený metrický prostor

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

• přirozené číslo n a soubor $A_1, A_2, A_3,... A_n$ podmnožin množiny X, takový, že
  • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
  • každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

$\forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zároveň}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \!$

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor $M$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností $a_i,\, b_i \,\!$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel $\left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\!$.

Uvažme množinu $A\subseteq M$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor $M$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina $A$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek $A$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro $\epsilon =1 \,\!$ existovala konečná $\epsilon$-síť $S$, jejíž prvky můžeme označit $S(1), S(2), \dots S(m)\,\!$, kde $m$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost $c_n\,\!$, definovanou takto:

• $c_i = -2 \,\!$, pokud $i \le m \,\!$ a $S(i)_i\ge 0 \,\!$
• $c_i = \,2 \,\!$, pokud $i \le m \,\!$ a $S(i)_i<0 \,\!$
• $c_i = 0 \,\!$, pokud $i>m \,\!$

Symbol $S(i)_i$ značí $i$-tý prvek $i$-té posloupnosti v množině $S$. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost $c_n$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti $S(i)\,\!$, čehož dosáhneme tak, že pro každé $i$ vhodnou volbou $c_i$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti $S(i)$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek $S(j)$ má od posloupnosti $c_n\,\!$ vzdálenost menší, než 1. Z definice $c_n\,\!$ však plyne, že číslo $S(j)_j$ je od čísla $c_j$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Související články

• Kompaktní množina
• Metrický prostor

Literatura

Tento článek potřebuje doplnit či upravit literaturu.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že na konec článku přidáte (resp. upravíte) literaturu a uvedete vhodné knihy, ze kterých lze o daném tématu čerpat více informací.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.