Totálně omezený metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

  • přirozené číslo n a soubor A_1, A_2, A_3,... A_n podmnožin množiny X, takový, že
    • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
    • každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

 \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zároveň}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \!

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou[editovat | editovat zdroj]

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor M všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností  a_i,\, b_i \,\! supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel  \left|a_1-b_1\right | ,\,  \left|a_2-b_2\right | \dots  \,\! .

Uvažme množinu A\subseteq M těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor M není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina A je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek A má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \epsilon =1 \,\! existovala konečná \epsilon-síť S, jejíž prvky můžeme označit  S(1), S(2), \dots S(m)\,\! , kde m je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost   c_n\,\! , definovanou takto:

  • c_i = -2  \,\!, pokud i \le m \,\! a S(i)_i\ge 0 \,\!
  • c_i = \,2 \,\!, pokud i \le m \,\! a S(i)_i<0 \,\!
  • c_i = 0   \,\!, pokud i>m \,\!

Symbol S(i)_i značí i-tý prvek i-té posloupnosti v množině S. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost c_n se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti  S(i)\,\! , čehož dosáhneme tak, že pro každé i vhodnou volbou c_i zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti S(i)

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek S(j) má od posloupnosti   c_n\,\! vzdálenost menší, než 1. Z definice   c_n\,\! však plyne, že číslo S(j)_j je od čísla c_j vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.