Kardinální aritmetika

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(Přesměrováno z Kardinální součin)
Skočit na: Navigace, Hledání

Kardinální aritmetika je součást teorie množin, která definuje operace kardinálního součtu, kardinálního součinu a kardinální mocniny jako rozšíření běžných aritmetických operací s přirozenými čísly na všechna kardinální čísla a zabývá se jejich vlastnostmi především na nekonečných množinách.

Obsah

Definice kardinálního součtu a součinu [editovat]

Jsou-li \lambda, \mu \,\! dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

  • \lambda + \mu = | (\{ 0 \} \times \lambda) \cup (\{ 1 \} \times \mu) | \,\!
  • \lambda . \mu = | \mu \times \lambda | \,\!

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

Vlastnosti kardinálního součtu a součinu [editovat]

Vztah kardinálních a ordinálních operací [editovat]

Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.

Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.

Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):

  • 3 + 7 = 10 \,\!
  • 3 . 7 = 21 \,\!
  • 1 + \omega = \omega \,\!
  • 3 . \omega = \omega \,\!

Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:

  • \omega + 7 > \omega \,\! pro ordinální součet, ale
  • \omega + 7 = \omega \,\! pro kardinální součet.
  • \omega . \omega > \omega \,\! pro ordinální součin, ale
  • \omega . \omega = \omega \,\! pro kardinální součin.

Trivialita kardinálního součtu a součinu [editovat]

Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:

  • pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně použivaným operacím součtu a součinu
  • pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů): \lambda . \mu = \lambda + \mu = max(\lambda, \mu) \,\!

Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení

  • ( \forall \alpha, \beta \isin On)( \aleph_{\alpha} . \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = max(\aleph_{\alpha}, \aleph_{\beta})) \,\!

Definice kardinální mocniny [editovat]

Jsou-li \lambda, \mu \,\! dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu \lambda^{\mu} \,\! jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny \mu \,\! do množiny \lambda \,\! .

Základní vlastnosti kardinální mocniny [editovat]

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

  • 0^0 = 1 \,\!
  • 0^{\lambda} = 0 \,\! pro \lambda > 0 \,\!
  • \lambda^0 = 1 \,\!
  • 1^{\lambda} = 1 \,\!
  • \lambda^{\mu_1 + \mu_2} = \lambda^{\mu_1}.\lambda^{\mu_2} \,\!
  • (\lambda^{\mu_1})^{\mu_2} = \lambda^{\mu_1.\mu_2} \,\!


Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

  • {\lambda}^{\mu} = \lambda \,\! pro \lambda \,\! nekonečné a \mu \,\! konečné
  • {\lambda}^{\mu} = 2^{\mu} \,\! pro \mu \,\! nekonečné a 2 \leq \lambda \leq \mu \,\!

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím \lambda = \omega \,\! a \mu = \omega \,\! , dostávám výsledek
\omega^{\omega} = 2^{\omega} \,\! ,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny \{ 0,1 \} \,\! - a to je vlastně totéž, jako potenční množina \mathbb{P}(\omega) \,\!

Dá se ukázat, že \mathbb{P}(\omega) \,\! má stejnou mohutnost jako množina \mathbb{R} \,\! všech reálných čísel, tj. | \mathbb{P}(\omega)| = | \mathbb{R} | = 2^{\omega} \,\! - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

Co víme o kardinálních mocninách čísla 2 [editovat]

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde \omega = \aleph_0 ) pro které \alpha \,\! platí
\aleph_{\alpha} = 2^{\aleph_0}  ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: 2^{\aleph_0} = \aleph_1 , což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotézá se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza 2^{\aleph_0} = \aleph_2 nebo 2^{\aleph_0} = \aleph_{137} .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce 2^{\aleph_{\alpha}} jsou následující tři údaje:

  1. \alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph_{\alpha}} \leq 2^{\aleph_{\beta}}
  2. \aleph_{\alpha} < 2^{\aleph_{\alpha}}
  3. \aleph_{\alpha} < cf(2^{\aleph_{\alpha}}) , kde cf(\lambda) \,\! je kofinál kardinálu kde \lambda \,\!


Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha + 1} pro každý ordinál \alpha \,\!

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že

  • 2^{\aleph_0} = \aleph_1
  • 2^{\aleph_1} = \aleph_2
  • 2^{\aleph_2} = \aleph_3
  • 2^{\aleph_3} = \aleph_4

ale

  • 2^{\aleph_4} = \aleph_{100}

Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.

Související články [editovat]

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Kardinální_aritmetika&oldid=8179956“