Kofinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy \alpha,\, \beta budou označovat libovolná ordinální čísla a  \gamma,\, \delta budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožina[editovat | editovat zdroj]

Řekneme, že množina A \subseteq \gamma je kofinální podmnožinou \gamma, existuje-li pro každé \alpha \in \gamma takové \beta \in A, že \alpha\, \leq\, \beta. Říkáme také, že A je kofinální s \gamma.

Například

  • množina A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \} je kofinální podmnožina ordinálu \omega \,+\, \omega.
  • množina A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \} je kofinální podmnožina ordinálu \delta \cdot \delta.
  • množina A=\{\alef_{\alpha}; \alpha \in \gamma \} je kofinální podmnožina ordinálu \alef_{\gamma} pro každé \gamma\,>\,\omega.

Kofinál a kofinalita[editovat | editovat zdroj]

Kofinálem limitního ordinálu \gamma rozumíme nejmenší ordinál \alpha takový, že existuje množina A \subseteq \gamma kofinální s \gamma, jejímž ordinálním typem je \alpha (tj. A je \in-izomorfní s \alpha). Kofinál limitního ordinálu \gamma se značí \, cf(\gamma).

Kofinalitou \gamma rozumíme mohutnost (kardinalitu) \, cf(\gamma). Lze ukázat, že pro každé \gamma je \, cf(\gamma) kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

  • cf(\omega + \omega) \, = \, \omega
  • cf(\delta \cdot \delta) = \delta
  • cf(\alef_{\gamma})\,= \, cf(\gamma) pro každé \gamma\,>\,\omega

Regulární a singulární ordinál[editovat | editovat zdroj]

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Dále za předpokladu axiomu výběru:

Související články[editovat | editovat zdroj]