Funkce gimel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Funkce gimel je pojem z teorie množin, který tematicky patří do kardinální aritmetiky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkci gimel je definována pro nekonečný kardinál  \lambda \,\! jako
 \gimel(\lambda) = \lambda^{cf(\lambda)} \,\! .
Symbol  cf(\lambda) \,\! zde označuje kofinál kardinálu  \lambda \,\! .

Význam a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Funkce gimel se používá při vyšetřování průběhu kardinální mocniny.

Pro regulární kardinály platí:
 2^{\aleph_{\alpha}} = \gimel(\aleph_{\alpha}) \,\!

Pro singulární kardinály vyslovil v roce 1974 Robert Solovay tzv. hypotézu singulárních kardinálů:
Pro každý singulární kardinál  \aleph_{\alpha} \,\! platí
 \gimel(\aleph_{\alpha}) = max(\aleph_{\alpha + 1} , 2^{\aleph_{\alpha}}) \,\!

Z Königovy nerovnosti plyne \,\lambda < \gimel(\lambda) a také \,cf(\lambda) < cf(\gimel(\lambda)), tedy speciálně \, cf(\gimel(\lambda))>\alef_0 pro každé \, \lambda.

Související články[editovat | editovat zdroj]