Funkce gimel

Funkce gimel je pojem z teorie množin, který tematicky patří do kardinální aritmetiky.

Definice

Funkci gimel je definována pro nekonečný kardinál $\lambda \,\!$ jako
$\gimel (\lambda )=\lambda ^{cf(\lambda )}\,\!$ .
Symbol $cf(\lambda )\,\!$ zde označuje kofinál kardinálu $\lambda \,\!$.

Význam a vlastnosti

Funkce gimel se používá při vyšetřování průběhu kardinální mocniny.

Pro regulární kardinály platí:
$2^{\aleph _{\alpha }}=\gimel (\aleph _{\alpha })\,\!$

Pro singulární kardinály vyslovil v roce 1974 Robert Solovay tzv. hypotézu singulárních kardinálů:
Pro každý singulární kardinál $\aleph _{\alpha }\,\!$ platí
$\gimel (\aleph _{\alpha })=max(\aleph _{\alpha +1},2^{\aleph _{\alpha }})\,\!$

Z Königovy nerovnosti plyne $\,\lambda <\gimel (\lambda )$ a také $\,cf(\lambda )<cf(\gimel (\lambda ))$, tedy speciálně $\,cf(\gimel (\lambda ))>\aleph _{0}$ pro každé $\,\lambda$.

Související články

• Funkce alef
• Funkce beth
• Kardinální aritmetika
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Gimel

Portály: Matematika