Funkce gimel

Funkce gimel je pojem z teorie množin, který tematicky patří do kardinální aritmetiky.

Definice

Funkci gimel je definována pro nekonečný kardinál $\lambda \,\!$ jako
$\gimel(\lambda) = \lambda^{cf(\lambda)} \,\!$ .
Symbol $cf(\lambda) \,\!$ zde označuje kofinál kardinálu $\lambda \,\!$.

Význam a vlastnosti

Funkce gimel se používá při vyšetřování průběhu kardinální mocniny.

Pro regulární kardinály platí:
$2^{\aleph_{\alpha}} = \gimel(\aleph_{\alpha}) \,\!$

Pro singulární kardinály vyslovil v roce 1974 Robert Solovay tzv. hypotézu singulárních kardinálů:
Pro každý singulární kardinál $\aleph_{\alpha} \,\!$ platí
$\gimel(\aleph_{\alpha}) = max(\aleph_{\alpha + 1} , 2^{\aleph_{\alpha}}) \,\!$

Z Königovy nerovnosti plyne $\,\lambda < \gimel(\lambda)$ a také $\,cf(\lambda) < cf(\gimel(\lambda))$, tedy speciálně $\, cf(\gimel(\lambda))>\alef_0$ pro každé $\, \lambda$.

Související články

• Funkce alef
• Kardinální aritmetika
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál