Hypotéza singulárních kardinálů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézy[editovat | editovat zdroj]

Pro každý singulární kardinál  \aleph_{\alpha} \,\! platí
 \gimel(\aleph_{\alpha}) = max(\aleph_{\alpha + 1}, 2^{cf(\aleph_{\alpha})}) \,\!

Postavení hypotézy v teorii množin[editovat | editovat zdroj]

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu - tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF - to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence - SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézy[editovat | editovat zdroj]

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li  \aleph_{\alpha} \,\! a  \aleph_{\beta} \,\! libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

  •  \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} \,\! , pokud  \aleph_{\alpha} \leq 2^{\aleph_{\beta}} \,\!
  •  \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha} \,\! , pokud  \aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\! a  \aleph_{\beta} < cf(\aleph_{\alpha}) \,\!
  •  \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha + 1}\,\! , pokud  \aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\! a  cf(\aleph_{\alpha}) \leq \aleph_{\beta} \,\!


Související články[editovat | editovat zdroj]