Antisymetrická relace

Antisymetrická relace je matematický pojem označující relaci, ve které nenastává situace, že by a bylo v relaci s b a zároveň b v relaci s a. Podle toho, jestli se tato podmínka vztahuje i na stejné a, b, se liší pojem slabé a silné antisymetrie.

Typy

Slabě antisymetrická relace

Binární relace R na množině X nazývá slabě antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b a b je v relaci s a, pak a = b.

Formálně zapsáno:

$(\forall a, b \in \mathbf{X} (a\mathbf{R}b \and b\mathbf{R}a \; \Rightarrow \; a = b)$

„Je menší nebo rovno“ je slabě antisymetrická relace: jelikož $a \leq b \and b \leq a$ je nemožné pro různá $a\,\!$ a $b\,\!$, je slabá antisymetrie zřejmá.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie $( a\mathbf{R}b \Rightarrow b\mathbf{R}a)$. Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

Slabě antisymetrická relace, která je zároveň tranzitivní a reflexivní se nazývá neostré uspořádání (nebo jen uspořádání).

Silně antisymetrická relace

Binární relace R na množině X nazývá silně antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b pak b není v relaci s a.

Formálně zapsáno:

$(\forall a, b \in \mathbf{X}) (a \mathbf{R} b \Rightarrow \neg(b \mathbf{R} a))$

Tato podmínka vylučuje existenci prvku a, který by byl v relaci sám se sebou -- každá silně antisymetrická relace je proto ireflexivní.

Silně antisymetrická relace je například ostrá nerovnost < na přirozených číslech. To je také příklad ostrého uspořádání -- relace, která je silně antisymetrická (z toho ireflexivní) a tranzitivní.

Související články

• Relace (matematika)
• Reflexivní relace
• Symetrická relace
• Tranzitivní relace

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha : Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X.