Formule (logika)

Formule (také predikátová formule, srov. výroková formule) je v matematice a logice syntaktický pojem reprezentující nějaké (matematické) tvrzení v jisté formální teorii predikátové logiky prvního řádu.

Definice

Nechť L je jazyk. V následující definici uvažujeme pouze dvě logické spojky $\neg$ a $\Rightarrow$ a jeden kvantifikátor $\forall$. Zbylé spojky a kvantifikátor lze zavést definicemi.

Term

Termy jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina termů je nejmenší množina splňující:

• Každá proměnná je term.
• Každý konstantní symbol c jazyka L je term.
• Kdykoli F je n-ární funkční symbol jazyka L a $t_1, \ldots, t_n$ jsou termy, pak $F(t_1, \ldots, t_n)$ je term.
• Nic, co nevzniklo pomocí předchozích pravidel, není term

Atomická formule

Atomická formule jazyka L je výraz tvaru $P(t_1, \ldots, t_n)$, kde P je n-ární predikátový symbol jazyka L a $t_1, \ldots, t_n$ jsou termy nebo (jde-li o logiku s rovností) tvaru $\,t_1=t_2$, kde $\,t_1,t_2$ jsou termy.

Formule

Formule jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina formulí je nejmenší množina splňující:

• Každá atomická formule je formule
• Když $\varphi$ je formule, x proměnná, pak $\neg \varphi$ a $(\forall x)(\varphi)$ jsou formule.
• Když $\varphi, \psi$ jsou formule, pak $\varphi \Rightarrow \psi$ je formule.

Uzavřená a otevřená formule

Formule se nazývá otevřená, neobsahuje-li žádný kvantifikátor, a uzavřená, je-li každá proměnná v ní obsažená kvantifikována (tj. je na ni aplikován některý kvantifikátor). Uzavřená formule se nazývá též sentence.

Například:

• formule $x+y=z$ je otevřená ale ne uzavřená
• formule $(\forall x) (\exists y) (x+y=xy)$ je uzavřená ale ne otevřená
• formule $(\forall x) (x<y)$ není ani otevřená ani uzavřená
• formule $0+0=0$ je otevřená i uzavřená

Volná a vázaná proměná, substituovatelnost

Podformulí formule $\varphi$ je každá formule, která je částí formule $\varphi$.

Říkáme, že proměnná x je vázaná ve formuli $\varphi$, jestliže existuje podformule formule $\varphi$ ve tvaru $(\forall x) \psi(x)$. Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli $\varphi$, jestliže x má výskyt v nějaké podformuli $\,\psi$, formule $\varphi$, takové, že $\,\psi$ není podformulí žádné formule tvaru $(\forall x)( \chi(x))$.

Říkáme, že term t je substituovatelný za proměnnou x do formule $\varphi$, jestliže x není volná v žádné podformuli tvaru $(\forall y) \psi$, kde proměnná y má výskyt v termu t. Tedy, pokud náš term t obsahuje proměnnou y, která je v místě substituce vázaná, musí tam být i x vázaná.

Je-li x proměnná, t term a $\varphi$ formule, $\varphi(x/t)$ značí formuli, která vznikne nahrazením (substitucí) termu t za každý volný výskyt proměnné x v $\varphi$.

Související články

• Výroková formule
• Predikátová logika prvního řádu