Booleova algebra

Booleova algebra je algebraická struktura, která modeluje vlastnosti množinových a logických operací. Je nazvána podle irského matematika George Boolea. Klíčový význam mají Booleovy algebry také pro metodu forsingu.

Formální definice

Booleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.

Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je šestice (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdná množina, 0 ∈ A je nejmenší, 1 ∈ A největší prvek, − je unární operace (komplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsek, spojení) na A, splňující následující axiomy.

Komutativita:	$x \lor y = y \lor x$	$x \land y = y \land x$
Distributivita:	$x \lor (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z)$	$x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z)$
Neutralita 0 a 1:	$x \or 0 = x$	$x \and 1 = x$
Komplementarita:	$x \lor -x = 1$	$x \land -x = 0$
Nedegenerovanost:	$0\neq 1$

Axiom nedegenerovanosti se někdy neuvádí. V takovém případě je také jednoprvková množina Booleovou algebrou.

Vlastnosti

Pro Booleovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:

• asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
• absorpce: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x
• agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
• agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1
• idempotence: x ∨ x = x, x ∧ x = x
• absorpce negace: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y) = x ∧ y
• dvojitá negace: −(−x) = x
• De Morganovy zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨ −y = −(x ∧ y)
• 0 a 1 jsou vzájemně komplementární: −0 = 1, −1 = 0

Příklady

Nejjednodušší příklady

• Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o spor, nýbrž o dvojí značení jednoho prvku). Všechny operace dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když se vypustí axiom nedegenerovanosti.
• Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem.

Používané Booleovy algebry

Nejvýznamnějšími příklady Booleových algeber jsou algebry výroků (či obecněji Lindenbaumovy algebry formulí) a množinové algebry.

• U algeber výroků v dvouhodnotové logice je A = {nepravda, pravda}, 0 = nepravda, 1 = pravda a operace odpovídají disjunkci, konjunkci a negaci.
• Lindenbaumovy algebry jsou definovány nad množinou A všech tříd ekvivalence formulí daného jazyka a operace jsou stejné jako u algeber výroků.
• U množinových algeber je algebra definována nad potenční množinou libovolné množiny S, tzn. A = 2^S, nejmenším prvkem 0 je prázdná množina, největším prvkem 1 je sama množina S a operace odpovídají průniku, sjednocení a doplňku do množiny S.

Související články

• Booleova logika
• Forsing
• De Morganovy zákony