Charakteristická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty[1], které lze obecně zapsat

a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0

kde y \, je závislá proměnná a a_{n}, a_{n-1}, \ldots , a_{1}, a_{0} jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0

Z kořenů r^{n}, r^{n-1}, \ldots ,r charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge[2][4].

Derivace[editovat | editovat zdroj]

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a_{n}, a_{n-1}, \ldots , a_{1}, a_{0},

a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y^{'} + a_{0}y = 0

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo y(x) = e^{rx} \, , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem  e^{rx} \, . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce  e^{rx} \, je násobkem původní funkce, čili y' = re^{rx} \, , y'' = r^{2}e^{rx} \, a y^{(n)} = r^{n}e^{rx} \, jsou všechno násobky  e^{rx} \, . To naznačuje, že určité hodnoty  r \, dovolují, aby součet násobků  e^{rx} \, dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici[3]. Abychom zjistili hodnotu  r \, , dosadíme funkci y = e^{rx} \, a její derivace do diferenciální rovnice za y a jeho derivace, čímž dostaneme

a_{n}r^{n}e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_{1}re^{rx} + a_{0}e^{rx} = 0

Protože  e^{rx} \, není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0

Když nalezneme kořeny  r \, této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude y(x) = ce^{3x} \, , kde  c \, je konstanta.

Sestrojení obecného řešení[editovat | editovat zdroj]

Příklad

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

 y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0 \,

má charakteristickou rovnici

 r^{5} + r^{4} - 4r^{3} - 16r^{2} -20r - 12 = 0 \, .

Její faktorizací dostaneme

 (r - 3)(r^{2} + 2r + 2)^{2} = 0 \,

z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen  r_{1} = 3 \, a dvě dvojice komplexních kořenů  r_{2,3,4,5} = -1 \pm i . Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení

 y(x) = c_{1}e^{3x} + e^{-x}(c_{2} \cos x + c_{3} \sin x) + xe^{-x}(c_{4} \cos x + c_{5} \sin x) \,

kde  c_{1} , \ldots , c_{5} jsou reálné konstanty

Naleznutí kořenů  r_{1}, \ldots , r_{n} charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny,  h \, násobnými kořeny a  k \, komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením y_{D}(x) \, , y_{R_{1}}(x), \ldots , y_{R_{h}}(x) a y_{C_{1}}(x), \ldots , y_{C_{k}}(x) , pak obecné řešení diferenciální rovnice je

 y(x) = y_{D}(x) + y_{R_{1}}(x) + \cdots + y_{R_{h}}(x) + y_{C_{1}}(x) + \cdots + y_{C_{k}}(x)

Jednoduché reálné kořeny[editovat | editovat zdroj]

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže  u_{1}, \ldots , u_{n} jsou  n \, lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace  c_{1}u_{1} + \cdots + c_{n}u_{n} je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty  c_{1}, \ldots , c_{n}[1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny  r_{1}, \ldots , r_{n} , její obecné řešení bude mít tvar

 y_{D}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} + c_{2}e^{r_{2}x} + \cdots + c_{n}e^{r_{n}x}

Vícenásobné reálné kořeny[editovat | editovat zdroj]

Jestliže charakteristická rovnice má  k \, násobný kořen r_{1} \,, pak je zřejmé, že  y_{p}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} je alespoň jedno její řešení[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími  k - 1 \, kořeny. Protože r_{1} \, má násobnost  k \, , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na[1]

 \left ( \frac{d}{dx} - r_{1} \right )^{k}y = 0

Skutečnost, že  y_{p}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar  y(x) = u(x)e^{r_{1}x} \, , kde  u(x) \, je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce  ue^{r_{1}x} \, dává

 \left ( \frac{d}{dx} - r_{1} \right ) ue^{r_{1}x} = \frac{d}{dx}(ue^{r_{1}x}) - r_{1}ue^{r_{1}x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x} + r_{1}ue^{r_{1}x}- r_{1}ue^{r_{1}x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_{1}x}

pro  k = 1 \, .  k \, násobným použitím této skutečnosti dostáváme

 \left ( \frac{d}{dx} - r_{1} \right )^{k} ue^{r_{1}x} = \frac{d^{k}}{dx^{k}}(u)e^{r_{1}x} = 0

což po vydělení  e^{r_{1}x} \, dává

 \frac{d^{k}}{dx^{k}}(u) = u^{(k)} = 0

To platí právě tehdy, když  u(x) \, je polynom stupně  k-1 \, , neboli  u(x) = c_{1} + c_{2}x + c_{3}x^2 + \cdots + c_{k}x^{k-1} [4]. Protože  y(x) = ue^{r_{1}x} \, , část obecného řešení odpovídající  r_{1} je

 y_{R}(x) = e^{r_{1}x}(c_{1} + c_{2}x + \cdots + c_{k}x^{k-1})

Komplexní kořeny[editovat | editovat zdroj]

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru  r_{1} = a + bi a  r_{2} = a - bi , pak obecné řešení je  y(x) = c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x} \, . Použitím Eulerova vzorce  e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta \, můžeme toto řešení upravit:

\begin{array}{rcl}
y(x) &=& c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\
&=& c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\
&=& (c_{1} + c_{2})e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx
\end{array}

kde  c_{1} \, a  c_{2} \, jsou libovolné (i komplexní) konstanty[4].

Pokud použijeme konstanty  c_{1} = c_{2} = \tfrac{1}{2} , pak dostaneme partikulární řešení  y_{1}(x) = e^{ax} \cos bx \, .

Pokud použijeme konstanty  c_{1} = \tfrac{1}{2}i a  c_{2} = - \tfrac{1}{2}i , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení  y_{2}(x) = e^{ax} \sin bx \, . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů  r = a \pm bi \, vyjádřit vzorcem  y_{C}(x) = e^{ax}(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx ) \, .

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.

  1. a b c d e f g EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E.. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey : Pearson Education. ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3.  
  2. a b c SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online.  
  3. a b CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online.  
  4. a b c d e COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.] : D. C. Heath and Company, 1906.  
  5. DAWKINS, Paul. . Dostupné online.