Wronskián

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Wronskián (nebo také Wronského determinant) je v matematice funkce, která je definována jako determinant Wronského matice. Byl vymyšlen v roce 1812 polským matematikem Józefem Hoene-Wrońským a o 70 let později také po něm pojmenován. Je používán zejména v teorii diferenciálních rovnic při jejich řešení metodou variace konstant a při zjišťování lineární nezávislosti množiny funkcí.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť funkce (reálné nebo komplexní proměnné)  f_1(x),f_2(x), \ldots, f_n(x) mají v množině  I všechny derivace až do řádu  \mathrm{n-1} včetně. Potom wronskiánem těchto funkcí nazýváme funkci definovanou vztahem


W(f_1(x),f_2(x), \ldots, f_n(x)) (x)=
\begin{vmatrix} 
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix},\qquad x\in I.

Determinant se skládá z  n sloupců a  n řádků. V prvním řádku se nachází původní funkce, v každém  j -tém řádku jejich  j-1 derivace.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Při řešení lineárních diferenciálních rovnic se wronskián používá pro zjišťování lineární nezávislosti funkcí, které tuto rovnici řeší. Při nalezení tolika lineárně nezávislých rovnic jako je řád diferenciální rovnice, můžeme určit její fundamentální systém, a na základě konkrétního partikulárního řešení také obecné řešení této rovnice .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Spočtěme determinant systému funkcí  \left \{ 1 , x , x^2 , \ldots , x^k \right \} . Jde o  k+1 funkcí, determinant bude mít tedy  k+1 řádků a  k+1 sloupců. Wronskián je roven

 
W(1,x,x^2, \ldots, x^k) (x) = 
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & \cdots & x^{k-1} & x^k \\ 
0 & 1  & 2x & \cdots & (k-1)x^{k-2} & kx^{k-1} \\ 
0 & 0 & 2 & \ldots & (k-1)(k-2)x^{k-3} & k(k-1) x^{k-2}\\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 
0 & 0 & 0 & \cdots & (k-1)! & k!x \\ 
0 & 0 & 0 & \cdots & 0  & k! 
\end{vmatrix} 
=
\prod_{i=1}^{k}i!

V posledním kroku výpočtu bylo využito, že determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu jejich prvků na diagonále. Tento výsledek bude vždy nenulový pro libovolné  k , a proto jsou tyto funkce lineárně nezávislé.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Krbálek, Milan. Matematická analýza III. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2011, 230 s. ISBN 978-80-01-04863-4.
  • Kopáček, Jiří. Matematická analýza pro fyziky (II). Vyd. 1. Praha: Matfyzpress, 1998, 217 s. ISBN 80-858-6326-X.

Související články[editovat | editovat zdroj]