Tlumené kmitání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Příklad kmitajícího systému s tlumením.

Tlumené kmitání je takové kmitání, při kterém dochází v důsledku působení vnějších sil ke zmenšování amplitudy kmitů. Toto působení se označuje jako tlumení.

Při tlumeném kmitání se část energie oscilátoru přenáší do okolí. To má za následek postupné zmenšování amplitudy. Amplituda se zmenšuje, až dojde k zastavení oscilací a kmitavý pohyb ustane.

Většina reálných fyzikálních jevů na makroskopické úrovni se vyznačuje tlumením. Např. při mechanických pohybech je tlumení obvykle spojeno s odporem prostředí (např. pohyb tělesa v plynném nebo kapalném prostředí) nebo třením (a to jak vnější tření na rozhraní pohybujících se těles, tak také vnitřní tření materiálu vytvářejícího vazbu, např. pružiny). Při studiu elektromagnetismu se lze setkat s elektrickým odporem.

Jednotky SI vztahující se k tlumenému kmitání jsou: $\frac{N}{m}$ pro tuhost pružiny, $\frac{N}{ms^{-1}}$ pro tlumení

[editovat] Tlumený harmonický pohyb

Pro malé rychlosti považujeme sílu, kterou prostředí působí proti pohybu, za úměrnou rychlosti (viz např. Stokesův vzorec). Odporovou sílu $R$ pak můžeme psát ve tvaru

$R = -Bv = -B\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ ,

kde $B$ je konstanta úměrnosti mezi odporovou silou a okamžitou rychlostí $v$ kmitajícího tělesa a $u$ je okamžitá výchylka z rovnovážné polohy.

Pohybová rovnice harmonického kmitavého pohybu v takovém případě obsahuje nejen sílu vazby, ale také odporovou sílu, přičemž ji lze vyjádřit jako

$ma = m\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} = -ku+R = -ku-B\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$

Pomocí substituce $B = 2 b m$ a $k=\omega_0^2m$ , kde $m$ je hmotnost kmitajícího tělesa, lze pohybovou rovnici přepsat na diferenciální rovnici tlumeného harmonického kmitavého pohybu

$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + 2b\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2u = 0$

Konstanta $b$ se nazývá konstanta (součinitel) útlumu a $ω 0$ je úhlová frekvence vlastních kmitů.

[editovat] Řešení

Řešení se hledá ve tvaru $u = C e α t$ , z nějž dostaneme charakteristickou rovnici $\alpha^2+2b\alpha+\omega_0^2=0$ , která má řešení

$\alpha_{1,2} = -b\pm \sqrt{b^2-\omega_0^2}$

Toto řešení poskytuje dva partikulární integrály $u_1=C_1\mathrm{e}^{\alpha_1t}$ a $u_2=C_2\mathrm{e}^{\alpha_2t}$ . Obecné řešení má pak tvar

$u = C_1\mathrm{e}^{\alpha_1t}+C_2\mathrm{e}^{\alpha_2t}$

Na výsledný pohyb má rozhodující vliv vztah mezi konstantami $b$ a $ω 0$ , což ovlivňuje řešení charakteristické rovnice. Mohou nastat následující případy

slabé tlumení ( $b < ω 0$ )
silné tlumení ( $b > ω 0$ )
mezní případ ( $b = ω 0$ )

[editovat] Slabé tlumení

Pokud je tlumení slabé, tzn. $b < ω 0$ , jsou oba kořeny charakteristické rovnice komplexní. Položíme-li

$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - b^2}$ ,

můžeme kořeny zapsat ve tvaru $\alpha_{1,2} = -b\pm \mathrm{i}\omega$ . Odtud získáme obecné řešení ve tvaru

$u = \mathrm{e}^{-bt}\left(C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + C_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) = \mathrm{e}^{-bt}\left(C_1\cos\omega t + \mathrm{i} C_1\sin\omega t + C_2\cos\omega t - \mathrm{i} C_2\sin\omega t\right) = \mathrm{e}^{-bt}\left[\mathrm{i} (C_1-C_2)\sin\omega t + (C_1+C_2)\cos\omega t\right]$

Položíme-li nyní $\mathrm{i}(C_1-C_2)=A\cos\varphi_0$ a $C_1+C_2=A\sin\varphi_0$ , pak je možné psát

$u = A\mathrm{e}^{-bt}\left(\cos\varphi_0\sin\omega t + \sin\varphi_0\cos\omega t\right) = A\mathrm{e}^{-bt}\sin(\omega t+\varphi_0)$

Tlumené harmonické kmitání.

Ze uvedeného vztahu je vidět, že amplituda $A e - b t$ se s časem zmenšuje (exponenciálně).

Doba, za kterou amplituda $A e - b t$ klesna na hodnotu $A e$ , se nazývá relaxační doba $τ$ a platí pro ni $τ = b - 1$ .

Pohyb se v důsledku tlumení uskutečňuje pomaleji, neboť doba kmitu je delší.

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-b^2}}$

Podíl dvou výchylek, které jsou od sebe časově vzdáleny o dobu kmitu $T$ se nazývá faktor útlumu.

$\lambda = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A\mathrm{e}^{-bt}}{A\mathrm{e}^{-b(t+T)}} = \mathrm{e}^{bT}$

Faktor útlumu tedy nezávisí na čase.

Přirozený logaritmus faktoru útlumu se nazývá logaritmický dekrement (tlumení)

$\delta = \ln\lambda = bT = 2\pi\frac{b}{\omega}$

[editovat] Silné tlumení

Při silném tlumení, tzn. $b > ω 0$ , jsou oba kořeny charakteristické rovnice reálné, různé a menší než nula. Obecné řešení má pak uvedený tvar, v němž $α 1,2$ jsou reálná záporná čísla. Jedná se tedy o superpozici dvou exponenciálních křivek, které se asymptoticky blíží k rovnovážnému stavu při $u = 0$ .

Aperiodické tlumené kmitání.

Z charakteru řešení vyplývá, že při vychýlení u silného tlumení dochází k postupnému návratu do rovnovážné polohy, aniž dojde k překročení této rovnovážné polohy. Takovéto kmitání se nazývá aperiodické.

[editovat] Mezní aperiodické kmitání

Při $b = ω 0$ dochází k tzv. meznímu (hraničnímu)' případu aperiodického pohybu. Konstanta útlumu má stejnou hodnotu jako kruhová frekvence $ω$ .

Mezní aperiodické tlumené kmitání.

V tomto případě jsou oba kořeny charakteristické rovnice stejné, tzn. $α 1,2 = - b$ . Partikulární integrály rovnice harmonického pohybu jsou $u 1 = C 1 e - b t$ a $u 2 = C 2 t e - b t$ . Obecné řešení má tedy tvar

u = u 1 + u 2 = C 1 e - b t + C 2 t e - b t = (C 1 + C 2 t)e - b t

Integrační konstanty se určí z počátečních podmínek. Má-li oscilátor v okamžiku $t = 0$ výchylku $u 0 = A$ a nulovou počáteční rychlost $v 0 = 0$ , lze řešení psát ve tvaru

u = A e - b t (1 + b t)

Při tomto tlumení nedochází k přechodu přes rovnovážnou polohu (tzn. pohyb je aperiodický), přibližování k rovnovážné poloze však probíhá rychleji než v případě silného tlumení.

[editovat] Energie tlumených harmonických kmitů

Celkovou mechanickou energii hmotného bodu o hmotnosti $m$ konajícího tlumený harmonický kmit kolem rovnovážné polohy $u 0$ lze zapsat jako

$E = \frac{1}{2}m{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + \frac{1}{2}ku^2$

Pro změnu mechanické energie při tlumeném kmitání platí vztah

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}m{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)}^2 + \frac{1}{2}ku^2\right] = m\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + ku\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\left(m\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + ku\right)$

Změnu energie tlumeně kmitajícího systému v čase lze tedy vyjádřit jako

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}R = -B{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)}^2$

Vzhledem k tomu, že $B > 0$ a druhá mocnina rychlosti je také kladná, klesá celková mechanická energie kmitajícího systému s časem.

[editovat] Související články

Tlumené kmitání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Tlumený harmonický pohyb

[editovat] Řešení

[editovat] Slabé tlumení

[editovat] Silné tlumení

[editovat] Mezní aperiodické kmitání

[editovat] Energie tlumených harmonických kmitů

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích