Eulerova rovnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (e^{i\pi}+1=0) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění[editovat | editovat zdroj]

Eulerova rovnost je vzorec e^{i\pi}+1=0 , kde

Elegantnost vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození[editovat | editovat zdroj]

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

x = \pi,\,\!

dostaneme

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Protože

\cos \pi = -1  \, \!

a

\sin \pi = 0,\,\!

vyplývá odtud

e^{i \pi} = -1\,\!

a převedením na druhou stranu

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články[editovat | editovat zdroj]