Topologická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Topologická grupa je matematický objekt, který má jak strukturu grupy, tak i topologického prostoru, přičemž se požaduje, aby obě struktury byly vzájemně kompatibilní. Příkladem topologické grupy je množina jednotkových komplexních čísel (kružnice) s operací násobení, reálná čísla s operací sčítání, Lieovy grupy, anebo množina racionálních čísel spolu s operací sčítání.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Topologická grupa G je topologický prostor a grupa pro který platí, že grupová operace

G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy

a grupová inverze

G\to G : x \mapsto x^{-1}

jsou spojitá zobrazení. G\times G je tady topologický prostor se součinovou topologií.

Někteří autoři navíc požadují, aby topologie na G byla Hausdorfova.

V jazyku teorie kategorií, topologické grupy se definují jako grupové objekty v kategorii topologických prostorů, podobně jako běžné grupy jsou grupové objekty v kategorii množin.