Faktorová grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Faktorgrupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Rozklady podle podgrupy[editovat | editovat zdroj]

  • Levým rozkladem grupy G\,\! podle podgrupy H\,\! je množina

\{aH : a \in G\}

kde množiny aH=\{a \cdot h : h \in H\} se nazývají levé třídy rozkladu.

  • Pravým rozkladem grupy G\,\! podle podgrupy H\,\! je množina

\{Ha : a \in G\}

kde množiny Ha=\{h \cdot a : h \in H\} pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa[editovat | editovat zdroj]

Podgrupa H\,\! grupy G\,\! je normální, značíme H \triangleleft G\,\!, pokud pro všechny a \in G\,\! platí aH = Ha\,\!.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Faktorgrupa[editovat | editovat zdroj]

Jestliže H\,\! je normální podgrupa grupy G\,\! (symbolicky: H \triangleleft G), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

aH \cdot bH = (a \cdot b) H.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa G\,\! podle normální podgrupy H\,\! a značí se G/H\,\!.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li G\,\! libovolná grupa s násobením, pak G\,\! a \{ 1 \}\,\! jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí G/G \cong {1} a G/{1} \cong G.
  • Množina n\mathbb{Z}\,\! všech násobků čísla n\,\! je normální podgrupou aditivní grupy \mathbb{Z}\,\!, faktorová grupa \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\,\! je isomorfní s grupou \mathbb{Z}_n\,\!.

Hlavní věty o faktorových grupách[editovat | editovat zdroj]

Nechť f: G\to H je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a x\mapsto x Ker(f) definuje izomorfizmus grup

Im(f)\simeq G/Ker(f).

Nechť N \triangleleft G. Pak ke každému homomorfismu \varphi : G \rightarrow L grup, pro který N \subseteq Ker \varphi, existuje jediný homomorfismus \varphi ':G/N \rightarrow L takový, že\varphi = \varphi ' \circ p (kde p \,\! je projekce G \,\! na G/N \,\!).

Nechť N je normální podgrupa H a H je normální podgrupa G. Pak N je normální podgrupa G, H/N je normální podgrupa G/N a platí

G/H\simeq (G/N)/(H/N).

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. (čeština)