Faktorová grupa

Faktorgrupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice

Rozklady podle podgrupy

• Levým rozkladem grupy $G\,\!$ podle podgrupy $H\,\!$ je množina

$\{aH : a \in G\}$

kde množiny $aH=\{a \cdot h : h \in H\}$ se nazývají levé třídy rozkladu.

• Pravým rozkladem grupy $G\,\!$ podle podgrupy $H\,\!$ je množina

$\{Ha : a \in G\}$

kde množiny $Ha=\{h \cdot a : h \in H\}$ pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

Podgrupa $H\,\!$ grupy $G\,\!$ je normální, značíme $H \triangleleft G\,\!$, pokud pro všechny $a \in G\,\!$ platí $aH = Ha\,\!$.

Příklad

• Každá podgrupa abelovské grupy je normální.

Faktorgrupa

Jestliže $H\,\!$ je normální podgrupa grupy $G\,\!$ (symbolicky: $H \triangleleft G$), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

$aH \cdot bH = (a \cdot b) H$.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa $G\,\!$ podle normální podgrupy $H\,\!$ a značí se $G/H\,\!$.

Příklady

• Je-li $G\,\!$ libovolná grupa s násobením, pak $G\,\!$ a $\{ 1 \}\,\!$ jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí $G/G \cong {1}$ a $G/{1} \cong G$.
• Množina $n\mathbb{Z}\,\!$ všech násobků čísla $n\,\!$ je normální podgrupou aditivní grupy $\mathbb{Z}\,\!$, faktorová grupa $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\,\!$ je isomorfní s grupou $\mathbb{Z}_n\,\!$.

Hlavní věty o faktorových grupách

Nechť $f: G\to H$ je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a $x\mapsto x Ker(f)$ definuje izomorfizmus grup

$Im(f)\simeq G/Ker(f).$

Nechť $N \triangleleft G$. Pak ke každému homomorfismu $\varphi : G \rightarrow L$ grup, pro který $N \subseteq Ker \varphi$, existuje jediný homomorfismus $\varphi ':G/N \rightarrow L$ takový, že$\varphi = \varphi ' \circ p$ (kde $p \,\!$ je projekce $G \,\!$ na $G/N \,\!$).

Nechť N je normální podgrupa H a H je normální podgrupa G. Pak N je normální podgrupa G, H/N je normální podgrupa G/N a platí

$G/H\simeq (G/N)/(H/N).$

Související články

• Faktoralgebra
• Faktorokruh
• Normální podgrupa

Literatura

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. (čeština)