Existenční kvantifikátor

Existenční kvantifikátor (∃) (také malý kvantifikátor) je matematický symbol používaný nejčastěji v predikátové logice. Do běžného jazyka lze jeho význam přeložit jako existuje. Duálním kvantifikátorem k němu je univerzální kvantifikátor s významem pro každé.

Etymologie

Znak ∃ pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z anglického Exists – existuje.

Ukázka použití

Řekněme, že chceme napsat matematickou formuli, která bude pravdivá právě tehdy, pokud nějaké přirozené číslo na druhou je rovno 25. Nejjednodušším přístupem by bylo napsat následující formuli:

0·0 = 25 nebo 1·1 = 25 nebo 2·2 = 25 nebo 3·3 = 25 atd.

Mohlo by se zdát, že toto je korektní formule výrokové logiky, protože jediná použitá spojka je "nebo". Ve výrokové logice bohužel není možno použít nekonečně mnoho spojek v jedné formuli a proto je potřeba zvolit jiný přístup, například rozšířit logiku tak, aby byla schopna vyjádřit následující formuli:

Pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25.

Tato formule používá existenční kvantifikátor a přesněji vyjadřuje původní tvrzení, jelikož v původní formuli nebyl význam termínu atd. přesně zadefinován. Nebylo například zřejmé, že se má pokračovat pro všechna přirozená čísla. Oproti tomu druhá formule přímo specifikuje, že se jedná o přirozená čísla.

Formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" je pravdivá, protože pokud nahradíme n číslem 5, dostaneme 5.5=25, což platí. Nezáleží na tom, zda pro ostatní n tvrzení platí (v tomto případě dokonce neplatí pro žádné číslo různé od 5). Stačí najít jedno jediné číslo.

Pokud změníme formuli na "Pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25", dostaneme nepravdivé tvrzení (nelze nalézt sudé číslo, kterým bychom n nahradili, a podmínka byla splněna). Na těchto dvou příkladech je vidět, že volba čísel, která můžeme použít, je důležitá a může změnit pravdivost tvrzení).

Formální zápis výše uvedených formulí je následující. Mějme predikát $P(a,b,c)$ vyjadřující $a.b=c$ a predikát $Q(a)$ vyjadřující "a je sudé". Potom se formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" dá vyjádřit jako

$\exists{n}\in\mathbb{N}.\, P(n,n,25)$

a formule „pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25“ jako

$\exists{n}\in\mathbb{N}.\, Q(n) \wedge P(n,n,25)$

Vztah k univerzálnímu kvantifikátoru

Fakt, že existuje a splňující tvrzení $\phi$ lze alternativně vyjádřit tak, že není pravda, že každé a nesplňuje $\phi$. Platí tedy

• $\exists\equiv\neg\forall\neg$
• $\forall\equiv\neg\exists\neg$

Kvantifikátor jednoznačné existence

V matematických zápisech je někdy potřeba vyjádřit, že počet prvků, které danou formuli splňují, je přesně jedna, například "Existuje právě jedno přirozené číslo n, které splňuje n.n=25" je pravdivá formule, ale formule "Existuje právě jedno sudé číslo n, které splňuje n.n=25" a "Existuje právě jedno sudé číslo" pravdivé nejsou. Ve formálních zápisech se potom místo $\exists{n}$ používá $\exists!{n}$.

Ve skutečnosti se ale $\exists!$ dá vyjádřit pomocí samotného $\exists$. Formule $\exists!n\phi$ totiž platí právě když platí $\exist n (\phi \wedge \neg\exist k\,(k\not=n \wedge \phi'))$ kde formule $\phi'$ vznikne z $\phi$ záměnou volných výskytů proměnné n za k.

Pro všechny formule $\phi$ platí, že jestliže $\exists! n\,\phi$, pak i $\exists n\,\phi$, naopak to ale platit nemusí.

Kvantifikátor "existuje nekonečně mnoho"

Někdy je třeba vyjádřit, že existuje nekonečně mnoho prvků splňujících danou formuli. Například tvrzení "Existuje přirozené číslo n, které splňuje n < 17" je pravdivé tvrzení, zatímco "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n < 17" je nepravdivé.

Oproti tomu "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n dělitelných pěti" je opět pravdivé tvrzení. V matematice se tento případ zapíše pomocí kvantifikátoru $\stackrel{\infty}{\exists}$, tedy pokud P(a) je predikát „a>8“, vyjadřuje $\stackrel{\infty}{\exists} n\in\mathbb{N}\, P(n)$ tvrzení „Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n > 8“.

Pro všechny formule $\phi$ platí, že jestliže $\stackrel{\infty}{\exists} n\,\phi$, pak i $\exists n\,\phi$, naopak to ale platit nemusí. Na druhou stranu pro žádnou formuli $\phi$ nemůže zároveň platit $\stackrel{\infty}{\exists} n\,\phi$ a $\exists! n\,\phi$.

Kvantifikátor $\stackrel{\infty}{\exists}$ nelze obecně v predikátové logice vyjádřit, pokud ale jsou ale prvky, přes které kvantifikujeme, lineárně uspořádány, lze formuli $\stackrel{\infty}{\exists} n\, \phi$ zapsat jako $\forall k\, \exists n\, (n > k \wedge \phi)$.

Související články

• Kvantifikátor
• Kvantifikátor jednoznačné existence
• Univerzální kvantifikátor