Afinní geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, [1] jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[2]

Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinních transformací. Afinní transformace převádí přímky na přímky a zachovávají poměr délek úseček na přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají poměr obsahů těles, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly.

Afinní geometrie v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. [3]

V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektorového prostoru nad tělesem jako jeho afinní rozšíření.[4] Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod a (počátek souřadnicové soustavy) a n vektorů v_1,v_2,\ldots,v_n, které tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. Libovolný bod x je pak možné vyjádřit jednoznačně jako x=a+\sum \alpha_i v_i. Koeficienty \alpha_i se nazývají souřadnice bodu x.

Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. afinní transformace. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat

x\mapsto Ax + b

kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí.

Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá afinní grupa. Obsahuje všechna posunutí a regulární lineární zobrazení vektorů.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BLASCHKE, Wilhelm. Analytische Geometrie. [s.l.] : Birkhäuser, 1954. ISBN 978-3764300319. (anglicky) 
  2. COXETER, H.S.M.. Introduction to geometry. [s.l.] : Wiley, 1989. ISBN 978-0471504580. S. 191. (anglicky) 
  3. Coxeter, strana 192
  4. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.] : Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Afinní prostor. (česky)