Afinní zobrazení

Afinní zobrazení.

Afinní zobrazení (afinita) je geometrické zobrazení afinního prostoru do sebe, které je složení posunutí a lineárního zobrazení. To znamená, že v libovolné souřadnicové soustavě má tvar

$x\mapsto \mathbf{A}x + \mathbf{b}$

kde A je matice a b vektor. Pro Euklidův prostor to zahrnuje posunutí, otáčení, změnu měřítka, zkosení, zrcadlení, projekce a jejich skládání.

Důležitá vlastnost afinních zobrazení je, že převádějí přímky na přímky (nebo bod) a obecnějí afinní podprostory na afinní podprostory.

Vlastnosti

Při afinitě se bod $P$ ležící na přímce $r$ mezi body $A$ a $B$ zobrazí do bodu $P^\prime$, který leží na přímce $r^\prime$ mezi body $A^\prime$ a $B^\prime$ (pokud jsou různé), které odpovídají bodům $A$ a $B$.

Při afinitě je poměr délek dvou rovnoběžných úseček roven poměru délek jejich obrazů. Z toho např. vyplývá, že střed úsečky se zobrazí jako střed úsečky, těžiště trojúhelníka bude odpovídat těžišti trojúhelníka apod.

Mezi afinní zobrazení patří podobné zobrazení.

Invertibilní afinní zobrazení zachovávají (afinní) typ kvadriky, t.j. převádí elipsu na elipsu (anebo kružnici), parabolu na parabolu a hyperbolu na hyperbolu. Nezachovávají ale metrické vlastnosti útvarů.

Afinní grupa

Množina všech invertibilních afinních transformací afinního prostoru tvoří grupu, která se nazývá afinní grupa. V n rozměrném prostoru se zvolenou soustavou souřadnic se dá realizovat jako množina matic dimenze n+1

$\left( \begin{array}{c|c} M & v\\ \hline 0 & 1 \end{array}\right)$

kde M je nějaká regulární matice dimenze n a v vektor. Akce této matice na bod x je Mx+v.

V případě Euklidova prostoru obsahuje příslušná afinní grupa Euklidovu grupu (t.j. posunutí, otáčení, zrcadlení) jako svoji vlastní podgrupu.

Použití

Afinní transformace jsou jedněmi z nejčastěji používaných operací v počítačové grafice.

Související články

• Zobrazení
• Transformace souřadnic