Fundamentální grupa

Dvě křivky na toru, z nichž ani jednu nelze stáhnout do bodu. Fundamentální grupa popisuje množinu všech různých nestažitelných křivek.

Fundamentální grupa je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Popisuje křivky, které se v daném prostoru nedají stáhnout do bodu.

Definice

Nechť $X$ je topologický prostor a $x$ je prvkem $X$. Zaveďme prostor $C$ oblouků začínajících v $x$ předpisem

$C=\{s: [0,1] \to X, s \mbox{ je spojité a } s(0)=s(1)=x\}$.

Pro každé $a$, $b$ z $C$ definujme element $a+b$ z $C$ formulí $(a + b)(t):=a(2t)$ pro $t\in [0,1/2]$ a $(a+b)(t)=b(2t-l)$ pro $t\in [1/2,1]$ a element $a^{-1}$ z $C$ předpisem $a^{-1}(t)=a(1-t)$ pro $t \in [0,1]$. Nakonec definujme element $e(t):=x$ pro každé $t \in [0,1]$. Snadno lze ověřit, že $(C,+, ^{-1}, e)$ je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence $\simeq$. Položíme $a \simeq b$, právě tehdy když oblouk $a$ je homotopický oblouku $b$. Definujme $\pi_1(X,x):=C/\simeq$. Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na $\pi_1(X,x)$. Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru $X$, respektive fundamentální grupa X .

Pokud $X$ je obloukově souvislý, potom $\pi_1(X, x_0) \simeq \pi_1(X, x_1)$ pro každé $x_0,$ $x_1$ z $X$, tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu $x$. Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru, $\pi_1(X)$.

Příklady

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální, $\pi_1(R^n, 0) \simeq 0$, neboť $R^n$ je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel, $\pi_1(R^2-\{0\}, 1) \simeq \mathbb{Z}$. Podobně fundamentální grupa kružnice $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}$.

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je $\pi_1(T^2,m) \simeq\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, kde $T^2$ je torus a $m$ jeho nějaký bod. Generátory $(1,0)\in \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ a $(0,1) \in \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru $T^2$.

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$ Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

Tvrzení

• Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
• Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
• Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
• Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

Aplikace

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní $\mathbb{Z}$. Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení $p/|p|$ z dostatečně velké kružnice $K_1$ do jednotkové kružnice $S^1$ by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě $S^1$. V prostoru $\mathbb{C}$ je $K_1$ stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v $\mathbb{R}^3$ (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Motivace a zobecnění

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu^[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech

Literatura

• HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.] : Cambridge University Press, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-521-79540-1.