Projektivní grupa

Projektivní grupa je v matematice grupa, která je přirozenou grupou symetrie projektivního prostoru.

Formální definice

Pro vektorový prostor V nad tělesem F je projektivní grupa definována

$PGL(V):=GL(V)/Z(V),$

kde $Z(V)$ je centrum $PGL(V)$. Protože centrum grupy je vždy normální podgrupa, je příslušná faktorová grupa dobře definována.

Podobně speciální projektivní grupa je definována

$PSL(V):=SL(V)/SZ(V),$

kde $SL(V)$ je speciální lineární grupa a $SZ(V)$ její centrum.

V případě, že vektorový prostor dimenze $n$ je nad tělesem, v kterém každý prvek má $n$-tou odmocninu, obě grupy se rovnají.

Projektivní grupa má přirozenou akci na projektivním prostoru $\mathbb{FP}^{n-1}$.

Příklad

Komplexní projektivní přímku můžeme přirozeně ztotožnit s Riemannovou sférou transformací $(z,w)\mapsto z/w$ a $(z,0)\mapsto \infty$. Projektivní grupa $PSL(2,\C)$ pozůstává ze všech lineárních lomených funkcí

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

kde $ad-bc\neq 0$.