Projektivní grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Projektivní grupa je v matematice grupa, která je přirozenou grupou symetrie projektivního prostoru.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Pro vektorový prostor V nad tělesem F je projektivní grupa definována

PGL(V):=GL(V)/Z(V),

kde Z(V) je centrum PGL(V). Protože centrum grupy je vždy normální podgrupa, je příslušná faktorová grupa dobře definována.

Podobně speciální projektivní grupa je definována

PSL(V):=SL(V)/SZ(V),

kde SL(V) je speciální lineární grupa a SZ(V) její centrum.

V případě, že vektorový prostor dimenze n je nad tělesem, v kterém každý prvek má n-tou odmocninu, obě grupy se rovnají.

Projektivní grupa má přirozenou akci na projektivním prostoru \mathbb{FP}^{n-1}.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Komplexní projektivní přímku můžeme přirozeně ztotožnit s Riemannovou sférou transformací (z,w)\mapsto z/w a (z,0)\mapsto \infty. Projektivní grupa PSL(2,\C) pozůstává ze všech lineárních lomených funkcí

z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}

kde ad-bc\neq 0.