Symetrická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí S_n.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Symetrická grupa n-prvkové množiny S_nn! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa S_n je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu A_n všech sudých permutací, která je jednoduchá pro n\geq 5.

Počet konjugačních tříd S_n je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích irreducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy Gl(n,\C).

Symetrická grupa S_n nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou n=6. Grupa S_6 má grupu vnějších automorfizmů Out(S_6)\simeq \Z_2.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Symetrická grupa S_3 je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa D_3. Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001