Řád prvku

Řád prvku $a\,\!$ v grupě $G\,\!$ je takové nejmenší přirozené číslo $n\,\!$, že $a^n=1\,\!$ (přičemž $1\,\!$ je neutrální prvek grupy $G\,\!$), značíme jej $\operatorname{ord}\,a\,\!$ nebo $|a|\,\!$.

Definice

Buď dána grupa $G\,\!$, a prvek $a \in G\,\!$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem $a\,\!$ konečná, pak řád prvku $a\,\!$ v grupě $G\,\!$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak $0\,\!$ (u některých autorů $\infty \,\!$).

Tvrzení

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď $f:G \rightarrow H\,\!$ homomorfismus grup a $a \in G\,\!$ prvek konečného řádu, pak $\operatorname{ord}\,f(a) | \operatorname{ord}\,a\,\!$. Je-li navíc $f\,\!$ injektivní, pak $\operatorname{ord}\,f(a) = \operatorname{ord}\,a\,\!$.
• Z předchozího tvrzení plyne, že $\operatorname{ord}\,a^{-1} = \operatorname{ord}\,a\,\!$ (kde $a^{-1} \,\!$ je inverzní prvek k $a \,\!$), neboť zobrazení $a \mapsto a^{-1} \,\!$ je automorfismem grupy.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem $1 \,\!$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

• RNDR. LADISLAV BERAN, CSC.. Grupy a svazy. [s.l.] : SNTL, 1974. Kapitola 2.4. Podgrupa generovaná komplexem, s. 67-68. (česky) 
• PROF. RNDR. JIŘÍ ROSICKÝ, DRSC.. ALGEBRA. Brno : Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. (česky) 

Odkazy

Související články

• Grupa
• Cyklická grupa