Projektivní prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Projektivní prostor je geometrická a algebraická struktura.

Abstraktně se pro vektorový prostor V nad komutativním tělesem F definuje projektivní prostor \mathbb{P}(V) jako množina všech jeho (neorientovaných) směrů (tj. jednorozměrných vektorových podprostorů):

\mathbb{P}(V):=\{Fv\, |\, v\in V\backslash \{0\}\}

resp. ekvivalentně jako množina tříd ekvivalence na množině nenulových vektorů V\backslash \{0\}, pokud relaci ekvivalence definujeme jako (lineární závislost vektorů):

v\simeq w\quad\Leftrightarrow\quad v=a w

pro nějaké a\in F.

Projektivní prostor n-rozměrného vektorového prostoru nad tělesem F se také někdy značí \mathbb{FP}^{n-1} a jeho dimenze se definuje jako {n-1}

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Speciálním případem projektivního prostoru je reálná projektivní rovina \mathbb{RP}^2, kterou dostaneme volbou V=\R^3.

Jednorozměrný komplexní projektivní prostor (komplexní projektivní přímka) \mathbb{CP}^{1} je difeomorfní dvourozměrné sféře. Jedná se dokonce o holomorfní varietu.

Fanova rovina je nejmenší projektivní rovina skládající se ze 7 bodů a 7 přímek, dostaneme ji jako \mathbb{Z}_2\mathbb{P}^2, kde \mathbb{Z}_2 je dvouprvkové těleso.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro reálný resp. komplexní vektorový prostor V konečné dimenze má projektivní prostor \mathbb{P}(V) přirozenou strukturu hladké variety. Tato varieta je kompaktní.