Projektivní prostor

Projektivní prostor je geometrická a algebraická struktura.

Abstraktně se pro vektorový prostor $V$ nad komutativním tělesem $F$ definuje projektivní prostor $\mathbb{P}(V)$ jako množina všech jeho (neorientovaných) směrů (tj. jednorozměrných vektorových podprostorů):

$\mathbb{P}(V):=\{Fv\, |\, v\in V\backslash \{0\}\}$

resp. ekvivalentně jako množina tříd ekvivalence na množině nenulových vektorů $V\backslash \{0\}$, pokud relaci ekvivalence definujeme jako (lineární závislost vektorů):

$v\simeq w\quad\Leftrightarrow\quad v=a w$

pro nějaké $a\in F$.

Projektivní prostor $n$-rozměrného vektorového prostoru nad tělesem $F$ se také někdy značí $\mathbb{FP}^{n-1}$ a jeho dimenze se definuje jako ${n-1}$

Příklady

Speciálním případem projektivního prostoru je reálná projektivní rovina $\mathbb{RP}^2$, kterou dostaneme volbou $V=\R^3$.

Jednorozměrný komplexní projektivní prostor (komplexní projektivní přímka) $\mathbb{CP}^{1}$ je difeomorfní dvourozměrné sféře. Jedná se dokonce o holomorfní varietu.

Fanova rovina je nejmenší projektivní rovina skládající se ze 7 bodů a 7 přímek, dostaneme ji jako $\mathbb{Z}_2\mathbb{P}^2$, kde $\mathbb{Z}_2$ je dvouprvkové těleso.

Vlastnosti

Pro reálný resp. komplexní vektorový prostor $V$ konečné dimenze má projektivní prostor $\mathbb{P}(V)$ přirozenou strukturu hladké variety. Tato varieta je kompaktní.