Fanova rovina

Grafické znázornění Fanovy roviny, čáry odpovídají přímkám

Fanova rovina (pojmenovaná po italském matematikovi Gino Fanovi) je měřeno počtem prvků a přímek nejmenší projektivní rovina: obsahuje sedm bodů a sedm přímek.

Je možné ji zkonstruovat v rámci lineární algebry jako projektivní rovinu tělesa s dvěma prvky. Tedy její model je $\mathbb{Z}_2\mathbb{P}^2$, kde $\mathbb{Z}_2$ je dvouprvkové těleso.

Formální zápis

Fanova rovina je dvojice $[X, P]$, kde X je množina 7 bodů a P je množina sedmi trojprvkových podmnožin X (přímek), splňující axiomy projektivní roviny. Fanovu rovinu lze vypsat např. takto:

$X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}, \; P = \{ \{1, 2, 5\}, \{1, 3, 6\}, \{1, 4, 7\}, \{2, 3, 7\}, \{2, 4, 6\}, \{3, 4, 5\}, \{5, 6, 7\} \}$

Vlastnosti

• každé dva body určují jedinou přímku,
• každé dvě přímky se protínají v jediném bodě,
• pokud mají dvě přímky průnik v X, $\{A, B, X\}, \{C, D, X\}$, pak přímky obsahující $\{A, C\}, \{B, D\}$ mají opět společný průnik.