Kvaternionová grupa

Graf cyklů kvaternionové grupy $Q_8$. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i ² = −1, i ³ = −i  a i ⁴ = 1.

Kvaternionová grupa $Q_8$ je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) $D_4$ jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.

Grupa má prezentaci

$Q_8 = \langle -1,i,j,k \mid (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle, \,\!$

kde 1 je neutrální prvek grupy a -1 komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny $\{\pm i, \pm j, \pm k\}$ se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

$\begin{alignat}{2} ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\ jk & = i, & kj & = -i, \\ ki & = j, & ik & = -j. \end{alignat}$

Maticová reprezentace

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi $2\times 2$ zobrazením

$1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$i \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$

$j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$k \mapsto \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

a $-1,-i,-j,-k$ jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy $Q_8$ na dvourozměrném komplexním prostoru.

Poznámky

• V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quaternion group na anglické Wikipedii.