Dihedrální grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Dihedrální grupa je pojem z algebry, který označuje grupu symetrií pravidelného mnohoúhelníka (otočení a osové souměrnosti). Dihedrální grupy patří mezi jednoduché příklady konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup, geometrii a chemii.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Prvky[editovat | editovat zdroj]

Šest osových symetrií pravidelného šestiúhelníka

Pravidelný mnohoúhelník o n stranách má celkem 2n různých symetrií: n otočení a n osových souměrností. Ty tvoří prvky dihedrální grupy D_n. Pro lichá n spojují osy souměrností vždy střed strany s protilehlým vrcholem. Pro sudá n prochází polovina os vždy středy dvou protilehlých stran a druhá polovina os spojuje protilehlé vrcholy. V obou případech je symetrií dohromady stejně jako vrcholů. Složením dvou osových souměrnosti je rotace o dvojnásobek úhlu, který tyto osy svírají.

Na následující sérii obrázků jsou všechny možné symetrie osmiúhelníku, v první řadě otočení a v druhé řadě osové souměrnosti (místo označení vrcholů je za účelem identifikace zobrazení použit obrázek stopky):

Zobrazení dihedrální grupy pro dopravní značku

Grupová operace[editovat | editovat zdroj]

Osové souměrnosti rovnostranného trojúhelníka

Složení dvou symetrií pravidelného mnohoúhelníka dává opět symetrii. Toto skládání je grupová operace. Následující Cayleyho tabulka obsahuje všechna možná složení symetrií rovnostranného trojúhelníka. R₀ značí neutrální prvek, R₁ a R₂ jsou otočení proti směru hodinových ručiček o 120 a 240 stupňů a S₀, S₁ a S₂ jsou osové symetrie označené na obrázku vpravo.

R0 R1 R2 S0 S1 S2
R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2
R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0
R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1
S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1
S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2
S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Je vidět, že dihedrální grupa nemusí být komutativní.