Jednoduchá grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jednoduchá grupa je v matematice netriviální grupa G, která nemá žádné netriviální normální podgrupy, t.j. jediné normální podgrupy jsou G a jednoprvková podgrupa.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Cyklická grupa \Z_p pro p prvočíselné je jednoduchá, neboť nemá žádné netriviální podgrupy.

Symetrická grupa S_n není jednoduchá pro n>2, neboť obsahuje normální podgrupu všech sudých permutací A_n (tzv. alternující grupu).

Alternující grupa A_n je jednoduchá pro n\geq 5, což souvisí s neřešitelností algebraických rovnic 5. stupně.

Klasifikace[editovat | editovat zdroj]

Klasifikace všech jednoduchých grup není obecně známa. Klasifikace konečných jednoduchých grup byla dokončena koncem 20. století a patří mezi nejsložitější problémy matematiky. Konečné jednoduché grupy se dají zařadit do 18 nekonečných sérií zahrnujících cyklické grupy prvočíselného řádu, alternující grupy, grupy Lieova typu (reprezentovatelné jako maticové grupy nad konečnými tělesy), Titsovy grupy a 26 výjimečných grup (neboli sporadických), z nichž největší, monster-grupa, obsahuje asi 10^{54} prvků.

Od konce 19. století je také známá klasifikace jednoduchých Lieových grup a souvisejících jednoduchých Lieových algeber.