Cyklická grupa

V matematice konkrétně v teorii grup se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

Definice

Grupa (G,·) je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={gⁿ|n∈Z}; kde g⁰=1, gⁿ=g+g^n-1, g^-n=(gⁿ)^-1. Takovému g se říká generátor.

Pozn.: Mocnina -1 ve výrazu (gⁿ)^-1 znamená inverzní prvek grupy G k prvku gⁿ.

Ekvivalentní definice: G je cyklická, když existuje g∈G a jediná podgrupa G obsahující toto g je celé G (nejsou žádné "menší" podgrupy obsahující g).

Základní vlastnosti cyklických grup

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť generátor komutuje sám se sebou. To je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Nechť $A, B$ jsou dvě konečné cyklické grupy, které mají stejný počet prvků. Pak tyto dvě grupy jsou izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

Příklady cyklických grup

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Cyklické však mohou být i grupy s neprvočíselným počtem prvků. Například každá grupa

$(\mathbb Z_n,+,-,0)$  

(kde operace +, - jsou brány mod n) je cyklická.

Příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

 $(\mathbb Z,+,-,0)$

Tato grupa má dva generátory 1,-1 (1 = 1⁰, 2 = 1 + 1^(2-1),...) . Naproti tomu grupa reálných čísel na sčítání není cyklická. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Dalším příkladem cyklických grup jsou grupy symetrií pravidelného n-úhelníka vůči operaci skládání zobrazení.

Věty o cyklických grupách

• Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.

• Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě $\varphi(n)$ různých generátorů, kde $\varphi(n)$ je Eulerova funkce.

• Všechny aditivní grupy $(\mathbb Z_n,+,-,0)$ jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek $(\mathbb Z_n^*,*,^{-1},1)$ jsou cyklické jen v následujících případech: $n=2, n=4, n=p^k, n=2p^k$, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

Odkazy

Literatura

• Drápal, A.: Úvod do teorie grup
• Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory