Cyklická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice konkrétně v teorii grup se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Grupa (G,·) je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={gn|n∈Z}; kde g0=e, gn=g+gn-1, g-n=(gn)-1, (e je neutrální prvek). Takovému g se říká generátor.

Pozn.: Mocnina -1 ve výrazu (gn)-1 znamená inverzní prvek grupy G k prvku gn.

Ekvivalentní definice: G je cyklická, když existuje g∈G a jediná podgrupa G obsahující toto g je celé G (nejsou žádné "menší" podgrupy obsahující g).

Základní vlastnosti cyklických grup[editovat | editovat zdroj]

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť generátor komutuje sám se sebou. To je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Nechť A, B jsou dvě konečné cyklické grupy, které mají stejný počet prvků. Pak tyto dvě grupy jsou izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

Příklady cyklických grup[editovat | editovat zdroj]

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Cyklické však mohou být i grupy s neprvočíselným počtem prvků. Například každá grupa

(\mathbb Z_n,+,-,0)  

(kde operace +, - jsou brány mod n) je cyklická.

Příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

 (\mathbb Z,+,-,0)

Tato grupa má dva generátory 1,-1 (1 = 10, 2 = 1 + 1(2-1),...) . Naproti tomu grupa reálných čísel na sčítání není cyklická. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Dalším příkladem cyklických grup jsou grupy symetrií pravidelného n-úhelníka vůči operaci skládání zobrazení.

Věty o cyklických grupách[editovat | editovat zdroj]

  • Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.
  • Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě \varphi(n) různých generátorů, kde \varphi(n) je Eulerova funkce.
  • Všechny aditivní grupy (\mathbb Z_n,+,-,0) jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek (\mathbb Z_n^*,*,^{-1},1) jsou cyklické jen v následujících případech: n=2, n=4, n=p^k, n=2p^k, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Drápal, A.: Úvod do teorie grup
  • Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory