Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

$|G|=[G:H]\cdot |H|$, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy H v G.

Důkaz

Množiny $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoří disjunktní [G:H]-prvkový rozklad G a všechny množiny gH mají stejný počet prvků. Odtud je tvrzení věty zřejmé.

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
• Sylowovy věty