Lagrangeova věta (teorie grup)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.
Obsah |
[editovat] Přesné znění
Pro grupu G a její podgrupu H platí:
, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy H v G.
[editovat] Důkaz
Množiny
tvoří disjunktní [G:H]-prvkový rozklad G a všechny množiny gH mají stejný počet prvků. Odtud je tvrzení věty zřejmé.
[editovat] Příbuzná tvrzení
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.
[editovat] Související články
- Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
- Sylowovy věty
, kde |X| značí řád grupy X a [G:H]