Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

$|G|=[G:H]\cdot |H|$, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

Důkaz

Nejprve ukážeme, že levé cosety $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoří dohromady pro $\forall g \in G$ rozklad množiny G. Protože $x\cdot e=x\in xH$, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak $xH \cap yH\ne\emptyset$ pro nějaké $x,y\in G$. Jinými slovy pro nějaká $h_1,h_2\in H$ musí být $x\cdot h_1 = y\cdot h_2$. Vynásobením na pravé straně prvkem $h_2^{-1}$ dostaneme $x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y$. Pro jednoduchost provedeme substituci $t=h_1\cdot h_2^{-1}$. Vzhledem k definici podgrupy $t\in H$, a proto

$yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}$.

$yH\subset xH$, neboť rovněž $(th)\in H$, a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali $xH\subset yH$, a proto $yH=xH$. Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro $\forall x \in G$. Definujme f rovnicí

$f(h)=xh$

• Důkaz injektivity: Předpokládejme $f(h_1)=f(h_2)$.

$x\cdot h_1=x\cdot h_2$. Obě strany vynásobíme zleva prvkem $x^{-1}$

$x^{-1}\cdot x\cdot h_1=x^{-1}\cdot x\cdot h_2$

$h_1=h_2$

• Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť $[G/H]$ značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne $|G|=[G/H]\cdot |H|$.

QED.

Důsledky

Řád každého prvku $a\in G$, neboli nejnižžší číslo n, pro které $a^n=e$, je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě $\varphi (n)$, což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla $\varphi (n)$. Odtud plyne

$\varphi (n)=kd$, kde $d\in\mathbb{Z}$

$g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e$

což je ekvivalentí zápisu

$g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}$.

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
• Sylowovy věty