Zlomek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Zlomek označuje v matematice podíl dvou výrazů. Zlomek, ve kterém jsou oba výrazy celá čísla, se nazývá racionální číslo. Zápis pomocí zlomků je vhodný pro provádění elementárních úprav složitějších výrazů.

Obsah

[editovat] Hlavní pojmy

Každý použitelný číselný systém se musí vypořádat s necelými čísly. Každý zápis zlomku je založen na části celku (například polovina 1⁄2, tři čtvrtiny 3⁄4, dvě třetiny 2⁄3).

Zlomek se zapisuje ve tvaru \frac{a}{b} nebo a⁄b. Výraz a se nazývá čitatel (nad zlomkovou čárou) a výraz b se nazývá jmenovatel (pod zlomkovou čárou). Aby měl zlomek smysl, nesmí být b nula (nulou nelze dělit).

Pokud se v čitateli i ve jmenovateli zlomku opět nachází zlomek, tzn. jedná se o výraz ve tvaru \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}, pak takový zlomek označujeme jako složený.

Pokud je jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna) označuje se tento zlomek jako pravý zlomek.

Celá čísla a zlomky lze kombinovat. Například jeden a půl lze vyjádřit takto 1+1⁄2. Zlomky lze převést do smíšeného tvaru (například 5⁄4 = 1+1⁄4).

[editovat] Počítání se zlomky

Zlomky se dají sčítat, odčítat, násobit a dělit, dokonce i umocňovat. Chceme-li vynásobit dva zlomky, vynásobíme mezi sebou oba čitatele a oba jmenovatele. Součin čitatelům napíšeme nad zlomkovou čáru a součin jmenovatelů pod ní.

Abychom mohli sečíst nebo odečíst dva zlomky, musí mít stejného jmenovatele (například 1⁄2 + 3⁄2 = 4⁄2 = 2). V případě nutnosti lze jeden nebo oba zlomky převést na společného jmenovatele (1⁄2 + 1⁄3 = 3⁄6 + 2⁄6 = 5⁄6).

[editovat] Příklady početních úkonů se zlomky

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Pokud navíc c \neq 0, pak

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}

Dva zlomky a \over b a c \over d mají stejnou hodnotu tehdy a jen tehdy, když ad = bc (tzn. jejich podíl je 1).

- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}
\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^n}{b^n}

Pokud máme zlomek \frac{a}{b}, přičemž čitatel lze vyjádřit jako a = c \cdot r a jmenovatel jako b = c \cdot s, pak lze zlomek \frac{a}{b} vyjádřit v ekvivalentním tvaru jako

\frac{a}{b} = \frac{r}{s}

Tento postup je označován jako krácení zlomku. Hodnoty obou zlomků jsou ekvivalentní a lze je libovolně zaměňovat. Platí tedy např. \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. Je vidět, že vzájemně ekvivalentních zlomků existuje nekonečné množství, např. \frac{1}{2} = \frac{n}{2n} pro libovolné přirozené číslo n.

Podaří-li se zkrátit zlomek na tvar \frac{n}{1}, pak jej pokládáme roven přímo číslu n, tzn. \frac{n}{1} = n. Např. \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2.

Při provádění složitějších operací na zlomky se zlomek a⁄b chová jako a \cdot b^{-1}, takže například:

\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log (a \cdot b^{-1}) = \log a - \log b

[editovat] Jiné vyjádření zlomků

V desetinném zápise se zlomky vyjadřují jako desetiny, setiny, tisíciny, nebo miliontiny (například 1⁄2 = 0,5).

Zlomek lze také převést na procentuální podíl z celku (například 1⁄2 = 50 %).

Zlomek Procenta Desetinné číslo
1/2 50 % 0,5
1/3 33,33 % 0,333
1/4 25 % 0,25
1/5 20 % 0,2
1/6 16,66 % 0,166
1/8 12,5 % 0,125
1/10 10,0 % 0,1
2/3 66,66 % 0,666
3/4 75 % 0,75
3/5 60% 0,6

[editovat] Historie zlomků

V různých civilizacích z důvodu rozvoje průmyslu a obchodu, architektury, mořeplavby, přírodních a jiných věd vznikla potřeba velkých a obtížných aritmetických výpočtů, což vedlo k většímu rozvoji matematiky. Egypťané používali zlomky již asi 1000 př. n. l.. Skoro všechny zlomky se však převáděly na součty tzv. kmenových zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným jedné.

[editovat] Externí odkazy

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlomek“