Grupoid

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o algebraické struktuře podobné grupě. O pojmu z teorie kategorií pojednává článek grupoid_(teorie kategorií).
Struktury s jednou binární operací
Asociativita   Neutrální prvek    Inverzní prvek
Grupa AnoAno AnoAno AnoAno
Monoid AnoAno AnoAno NeNe
Pologrupa AnoAno NeNe NeNe
Lupa NeNe AnoAno AnoAno
Kvazigrupa NeNe NeNe NeNe
Grupoid NeNe NeNe NeNe

V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou operací. Je to množina A, na které je definována jedna binární operace •. Množina A je vzhledem k operaci • uzavřená, tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny A je prvek množiny A.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Množinu (\mathbb{M}), na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme (\mathbb{M};\cdot).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Protipříklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·yz = x·(y·z) - tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x - tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
    • Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x - tj. operace na něm definovaná je komutativní.
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
  • Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).

Související články[editovat | editovat zdroj]

  • Pologrupa - grupoid, jehož operace je asociativní
  • Monoid - grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek
  • Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci