Vektorový prostor

Součet vektorů a skalární násobek: vektor ${\boldsymbol {v}}$ je sečten s vektorem ${\boldsymbol {w}}$ (nahoře). Vektor ${\boldsymbol {w}}$ je před sečtením s ${\boldsymbol {v}}$ vynásoben skalárem 2 (dole).

Vektorový prostor (též lineární prostor) je v matematice a fyzice množina prvků nazývaných vektory, na níž jsou definovány dvě základní operace: sčítání vektorů a násobení skalárem. Skaláry jsou prvky určitého tělesa – nejčastěji reálná nebo komplexní čísla. Výsledkem těchto operací musí být opět vektor téhož prostoru a tyto operace musejí splňovat pravidla zvaná axiomy vektorového prostoru.

Pojem vektorového prostoru vznikl zobecněním vlastností vektorů v Euklidovském prostoru, tedy objektů, které mají velikost i směr. Toto zobecnění umožňuje aplikovat pojem vektoru i na abstraktnější objekty, jako jsou funkce, matice nebo polynomy.

Vektorové prostory jsou základním pojmem lineární algebry, která poskytuje prostředky pro výpočet a analýzu soustav lineárních rovnic pomocí matic.

Strukturální vlastnosti vektorového prostoru jsou jednoznačně určeny jeho dimenzí a tělesem, nad kterým je definován. Pokud je dimenze konečná, hovoří se o konečnědimenzionálním prostoru – tyto prostory se běžně vyskytují v geometrii a fyzice. Je-li dimenze nekonečná, jde o nekonečnědimenzionální prostor, který se objevuje například v matematické analýze. Typickými příklady jsou prostory polynomů nebo funkcí.

Některé vektorové prostory jsou obohaceny o další struktury, které umožňují jejich hlubší studium a využití. Patří sem například různé druhy algeber – například Lieovy algebry, okruhy polynomů nebo tělesová rozšíření. Zvláštní význam mají také topologické vektorové prostory, mezi které patří normované prostory, Hilbertovy prostory a Banachovy prostory.

Definice

V tomto článku jsou vektory zapisovány tučně, aby se odlišily od skalárů.

Vektorový prostor nad tělesem $T$ je neprázdná množina $V$ spolu s binární operací a funkcí dvou proměnných, které splňují osm axiomatických podmínek uvedených níže. V tomto kontextu se prvky množiny $V$ nazývají vektory a prvky tělesa $T$ se nazývají skaláry.

• Binární operace zvaná součtu vektorů přiřazuje každým dvěma vektorům ${\boldsymbol {v}}$ a ${\boldsymbol {w}}$ z $V$ třetí vektor z $V$, obvykle zapisovaný jako ${\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}}$, který se nazývá součet těchto dvou vektorů. Formálně jde o zobrazení $+:V\times V\to V$.

• Funkce dvou proměnných zvaná násobení skalárem (též skalární násobek) přiřazuje každému skaláru $a$ z $T$ a každému vektoru ${\boldsymbol {v}}$ z $V$ další vektor z $V$, který se značí $a{\boldsymbol {v}}$. Formálně jde o zobrazení $\cdot :T\times V\to V$.

Aby struktura tvořila vektorový prostor, musí být splněno následujících osm axiomů pro všechna ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V$ a $a,b\in T$:

1. Asociativita součtu: $({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})$
2. Komutativita součtu: ${\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {w}}+{\boldsymbol {v}}$
3. Existence nulového vektoru: Existuje ${\boldsymbol {0}}\in V$, tak že ${\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {v}}$ pro všechny ${\boldsymbol {v}}\in V$
4. Existence opačného vektoru: Pro každý ${\boldsymbol {v}}\in V$ existuje $-{\boldsymbol {v}}\in V$, takový že ${\boldsymbol {v}}+(-{\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {0}}$
5. Distributivita skalárního násobku vůči součtu vektorů: $a({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=a{\boldsymbol {v}}+a{\boldsymbol {w}}$
6. Distributivita skalárního násobku vůči operacím součtu: $(a+b){\boldsymbol {v}}=a{\boldsymbol {v}}+b{\boldsymbol {v}}$
7. Kompatibilita násobení skalárem: $(ab){\boldsymbol {v}}=a(b{\boldsymbol {v}})$
8. Existence jednotkového skaláru: $1{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}$, kde $1$ je multiplikativní identita v $T$

Když je těleso skalárů reálná čísla $\mathbb {R}$, nazývá se vektorový prostor reálný vektorový prostor. Když je těleso skalárů komplexní čísla $\mathbb {C}$, nazývá se komplexní vektorový prostor. Tyto dva případy jsou nejběžnější, ale běžně se zvažují i vektorové prostory, jejichž skaláry patří do libovolného tělesa $T$. Takový prostor se nazývá vektorový prostor nad tělesem $T$.

Vektorový prostor lze ekvivalentně definovat i stručněji, ale za pomoci složitějších pojmů:

• První čtyři axiomy (týkající se sčítání vektorů) znamenají, že vektorový prostor tvoří abelovskou grupu vzhledem k operaci součtu.
• Zbylé čtyři axiomy (týkající se násobení skalárem) znamenají, že tato operace definuje okruhový homomorfismus z tělesa $T$ do okruhu endomorfismů této grupy.

Konkrétně distributivita násobení skalárem vůči sčítání znamená, že násobení skalárem $a$ je endomorfismus skupiny. Zbylé tři axiomy zajišťují, že funkce, která mapuje skalár $a$ na násobení tímto skalárem, je okruhový homomorfismus z tělesa do kruhu endomorfismů grupy.

Ještě stručněji lze říci, že vektorový prostor je modulem nad tělesem.

Rozdíl dvou vektorů lze definovat jako: ${\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}+(-{\boldsymbol {w}})$.

Vektorové operace s množinami

Kromě aritmetických operací definovaných nad jednotlivými vektory a prvky tělesa lze uvažovat také obdobné operace nad celými množinami vektorů. Zavedení těchto operací umožňuje kompaktnější zápis vztahů mezi množinami vektorů a zvýrazňuje jejich vzájemné souvislosti.

Nechť $V$ je vektorový prostor a $A,B\subseteq V$ jsou neprázdné podmnožiny. Jejich součet se definuje jako

$A+B\equiv \{{\boldsymbol {u}}\in V\mid \exists {\boldsymbol {a}}\in A,\exists {\boldsymbol {b}}\in B:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\}=\{{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\mid {\boldsymbol {a}}\in A,{\boldsymbol {b}}\in B\}$.

Součet dvou podmnožin vektorového prostoru se nazývá direktní součet, právě když lze každý vektor ${\boldsymbol {u}}$ z množiny $A+B$ vyjádřit ve tvaru ${\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}$ jednoznačně, kde ${\boldsymbol {a}}\in A$ a ${\boldsymbol {b}}\in B$. Direktní součet množin $A$ a $B$ se značí $A\oplus B$ a definuje se vztahem

$A\oplus B\equiv \{{\boldsymbol {u}}\in V\mid \exists !{\boldsymbol {a}}\in A,\exists !{\boldsymbol {b}}\in B:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}}\}.$

Pokud jsou $A$ a $B$ vektorové podprostory prostoru $V$, platí, že $A+B$ je direktním součtem (tj. $A\oplus B$) právě tehdy, když jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor:

$(A+B=A\oplus B)\iff (A\cap B=\{{\boldsymbol {0}}\}).$

Podrobný důkaz je uveden v oddílu Rovnosti a inkluze článku Vektorový podprostor.

Pokud jedna z podmnožin obsahuje jediný vektor ${\boldsymbol {a}}\in V$, používá se zjednodušený zápis ${\boldsymbol {a}}+A\equiv \{{\boldsymbol {a}}\}+A$.

Je-li $S$ neprázdná podmnožina tělesa $T$, definuje se násobek množin $S$ a $A$ jako

$S\cdot A\equiv \{{\boldsymbol {u}}\in V\mid \exists a\in S,\exists {\boldsymbol {a}}\in A:{\boldsymbol {u}}=a{\boldsymbol {a}}\}=\{a{\boldsymbol {a}}\mid a\in S,{\boldsymbol {a}}\in A\}.$

Obsahuje-li množina $S$ jediný skalár $a\in T$, zapisuje se $\{a\}\cdot A\equiv aA$. Analogicky se definuje záporný násobek množiny $-A\equiv \{-1\}\cdot A$, což umožňuje definovat rozdíl dvou množin vztahem $A-B\equiv A+(-B)$.

Základní pojmy

Základní pojmy umožňují lépe pochopit strukturu vektorového prostoru $V$ nad číselným tělesem $T$.

Lineární kombinace

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární kombinace.

Vektor ${\boldsymbol {v}}$ je lineární kombinací vektorů ${\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{m}$, pokud platí:

${\boldsymbol {v}}=a_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\dots +a_{m}{\boldsymbol {u}}_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\boldsymbol {u}}_{i}$,

kde $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}\in T$.

Lineární nezávislost

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární nezávislost.

Vektory ${\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{m}$ jsou lineárně nezávislé, pokud jejich libovolná netriviální lineární kombinace je nenulový vektor:

$a_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\dots +a_{m}{\boldsymbol {u}}_{m}\neq {\boldsymbol {0}}$,

přičemž alespoň jeden skalár $a_{i}\in T$ je nenulový.

Generátory

Vektory ${\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{m}$ generují vektorový prostor, pokud každý vektor ${\boldsymbol {v}}\in V$ lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci:

${\boldsymbol {v}}=a_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\dots +a_{m}{\boldsymbol {u}}_{m}$,

kde $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}\in T$.

Báze

Podrobnější informace naleznete v článku Báze (lineární algebra).

Lineárně nezávislá množina vektorů, která generuje celý prostor, se nazývá báze vektorového prostoru. Pokud je vektorový prostor tvořen $n$-složkovými vektory a báze obsahuje $m$ vektorů, platí $m=n$.

Dimenze

Podrobnější informace naleznete v článku Dimenze vektorového prostoru.

Všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost, která se nazývá dimenze prostoru.

Souřadnice

Pro vektor ${\boldsymbol {v}}$ z vektorového prostoru $V$ dimenze $n$ generovaného bází $B={{\boldsymbol {u}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{n}}$ platí, že existují jednoznačně dané koeficienty $a_{1},\dots ,a_{n}\in T$ takové, že:

${\boldsymbol {v}}=a_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\dots +a_{n}{\boldsymbol {u}}_{n}$,

koeficienty $a_{1},\dots ,a_{n}$ se nazývají souřadnice vektoru ${\boldsymbol {v}}$ vzhledem k bázi $B$.

Skalární součin a norma

Podrobnější informace naleznete v článku Skalární součin.

Skalární součin dvou vektorů ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V$ je symetrická pozitivně definitní bilineární forma $\cdot :V\times V\to T$. V aritmetickém n-rozměrném prostoru nad tělesem reálných čísel je definován jako ${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$ a nad tělesem komplexních čísel je definován jako ${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}$, tj. jako součet součinů odpovídajících složek obou vektorů. Složky vektoru jsou obecně odlišné od souřadnic, kromě kanonické báze aritmetického vektorového prostoru.

Norma odvozená ze skalárního součinu je dána předpisem $|{\boldsymbol {u}}|={\sqrt {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}}}$ a je vždy nezáporná.

Z Cauchyho–Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti $-1\leq {\frac {{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}}{|{\boldsymbol {u}}||{\boldsymbol {v}}|}}\leq 1$ plyne:

${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=|{\boldsymbol {u}}||{\boldsymbol {v}}|\cos \varphi$,

kde $\varphi \in \langle 0,\pi \rangle$ je úhel mezi vektory.

Vektorový součin

Podrobnější informace naleznete v článku Vektorový součin.

Ve třídimenzionálním prostoru je definován vektorový součin $\times :V\times V\to V$ jako

${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {n}}|{\boldsymbol {u}}||{\boldsymbol {v}}|\sin \varphi$,

kde ${\boldsymbol {n}}$ je jednotkový vektor kolmý na vektory ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ a $\varphi$ je úhel mezi nimi. Velikost vektorového součinu odpovídá ploše rovnoběžníku vektory sevřeného.

Podprostor

Podrobnější informace naleznete v článku Vektorový podprostor.

Podmnožina $U\subseteq V$ je podprostor, pokud součet libovolných vektorů z $U$ a násobek libovolného vektoru z $U$ skalárem z $T$ patří do $U$. Podprostor je sám o sobě vektorovým prostorem.

Lineární obal

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární obal.

Lineární obal množiny vektorů ${\boldsymbol {u}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {u}}_{m}$ z prostoru $V$ je množina všech jejich lineárních kombinací. Tento obal tvoří podprostor prostoru $V$ a má dimenzi nejvýše $m\leq n$, kde $n$ značí dimenzi nadřazeného prostoru $V$.

Direktní součet

Podprostory $U$ a $W$ tvoří direktní součet $V=U\oplus W$, pokud lineární obal jejich sjednocení je $V$ a jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor. Pak každý ${\boldsymbol {v}}\in V$ lze jednoznačně vyjádřit jako ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {w}}$, kde ${\boldsymbol {u}}\in U$ a ${\boldsymbol {w}}\in W$.

Ortogonální projekce

Podrobnější informace naleznete v článku Projekce (lineární algebra).

Nechť $U$ je podprostor $V$ a $W$ množina všech vektorů kolmých na všechny vektory $U$. Množina $W$ tvoří podprostor a $V=U\oplus W$. Každý vektor ${\boldsymbol {v}}\in V$ lze jednoznačně rozložit na ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {w}}$, kde ${\boldsymbol {u}}\in U$ je ortogonální projekce ${\boldsymbol {v}}$ do $U$ a ${\boldsymbol {w}}\in W$ je kolmice spuštěná z ${\boldsymbol {v}}$ na $U$.

Vlastnosti

Z axiomů vektorového prostoru vyplývají následující základní vlastnosti pro každý vektorový prostor $V$ nad tělesem $T$.

Jednoznačnost

• Jednoznačnost nulového vektoru: V každém vektorovém prostoru existuje právě jeden nulový vektor $\mathbf {0}$, pro který platí

$\exists !\mathbf {0} \in V,\ \forall \mathbf {u} \in V:\ \mathbf {u} +\mathbf {0} =\mathbf {u}$

Důkaz: Existence alespoň jednoho nulového vektoru je zajištěna axiomem vektorového prostoru. Pokud by existovaly dva různé nulové vektory $\mathbf {0} _{1}$ a $\mathbf {0} _{2}$, tedy $\mathbf {0} _{1}\neq \mathbf {0} _{2},$ pak by platilo$\mathbf {0} _{1}=\mathbf {0} _{1}+\mathbf {0} _{2}=\mathbf {0} _{2}+\mathbf {0} _{1}=\mathbf {0} _{2}$což vede ke sporu. Nulový vektor je proto jednoznačně určen.

• Jednoznačnost opačného vektoru: Ke každému vektoru $\mathbf {u} \in V$ existuje právě jeden opačný vektor $-\mathbf {u}$, pro který platí

$\forall \mathbf {u} \in V:\ \exists !(-\mathbf {u} )\in V,\ \mathbf {u} +(-\mathbf {u} )=\mathbf {0}$

Důkaz: Existence vyplývá z axiomů. Pokud by k vektoru $\mathbf {u}$ existovaly dva různé opačné vektory $\mathbf {v} _{1}$ a $\mathbf {v} _{2}$, pak by platilo $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} _{1}+\mathbf {0} =\mathbf {v} _{1}+(\mathbf {u} +\mathbf {v} _{2})=(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {u} )+\mathbf {v} _{2}=\mathbf {0} +\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{2}$ což je spor. Opačný vektor je proto jednoznačně určen.

• Jednoznačnost řešení lineární rovnice: Pro libovolné vektory $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in V$ má rovnice $\mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {u}$ právě jedno řešení $\mathbf {u} =-\mathbf {b} +\mathbf {a}$, tedy

$\forall \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {u} \in V:\ \mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {u} \Rightarrow \mathbf {u} =-\mathbf {b} +\mathbf {a}$

Důkaz: Výraz $\mathbf {u} =-\mathbf {b} +\mathbf {a}$ splňuje danou rovnici. Pokud by existovala dvě různá řešení $\mathbf {u} _{1}$ a $\mathbf {u} _{2}$ taková, že $\mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {u} _{1}=\mathbf {b} +\mathbf {u} _{2}$, pak by přičtení $-\mathbf {b}$ zleva vedlo na $(-\mathbf {b} )+(\mathbf {b} +\mathbf {u} _{1})=(-\mathbf {b} )+(\mathbf {b} +\mathbf {u} _{2})$, což je ekvivalentní vztahu $\mathbf {u} _{1}=\mathbf {u} _{2}$. Řešení je proto jednoznačné.

Nulový a opačný vektor

• Libovolný násobek nulového vektoru je nulový vektor a nulový násobek libovolného vektoru je nulový vektor:

$\forall a\in T:a{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}$

$\forall {\boldsymbol {v}}\in V:0{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}$

Důkaz: Přímou aplikací axiomů s využitím opačných prvků k vektorům $a{\boldsymbol {0}}$ v prvím a $0{\boldsymbol {v}}$ ve druhém případě:

$a{\boldsymbol {0}}=a{\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {0}}=a{\boldsymbol {0}}+a{\boldsymbol {0}}-a{\boldsymbol {0}}=a({\boldsymbol {0}}+{\boldsymbol {0}})-a{\boldsymbol {0}}=a{\boldsymbol {0}}-a{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}},$

$0{\boldsymbol {v}}=0{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {0}}=0{\boldsymbol {v}}+0{\boldsymbol {v}}-0{\boldsymbol {v}}=(0+0){\boldsymbol {v}}-0{\boldsymbol {v}}=0{\boldsymbol {v}}-0{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}.$

• Nulový součin skaláru a vektoru:

$\forall a\in T,\forall {\boldsymbol {u}}\in V:a\cdot {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}\iff a=0\lor {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$

Důkaz: Implikace zprava doleva vyplývá z předchozí vlastnosti. Pro implikaci zleva doprava předpokládáme $a{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$ s $a\neq 0$ a ${\boldsymbol {u}}\neq {\boldsymbol {0}}$. Násobením $1/a$ plyne ${\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$, což je spor.

• Součin opačných prvků:

$\forall a\in T,\forall {\boldsymbol {u}}\in V:(-a)\cdot {\boldsymbol {u}}=-(a\cdot {\boldsymbol {u}})=a\cdot (-{\boldsymbol {u}})$

Důkaz: Rovnice $a{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}$ má řešení ${\boldsymbol {v}}=-(a{\boldsymbol {u}})$. Současně platí $a{\boldsymbol {u}}+(-a){\boldsymbol {u}}=0{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$ a $a{\boldsymbol {u}}+a(-{\boldsymbol {u}})=a{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}$. Z jednoznačnosti řešení plyne $-(a{\boldsymbol {u}})=(-a){\boldsymbol {u}}=a(-{\boldsymbol {u}})$.

• Opačný vektor k danému vektoru lze získat vynásobením jednotkového prvku jeho opačným prvkem:

$\forall {\boldsymbol {u}}\in V:-{\boldsymbol {u}}=-1\cdot {\boldsymbol {u}}$

Důkaz: Plyne z předchozí vlastnosti při $a=1$.

Množinové operace

Operace sčítání a násobení nad podmnožinami vektorového prostoru a tělesa splňují následující vlastnosti (pro $S_{1},S_{2}\subset T$):

• Součet množin je komutativní a asociativní.
• $A+{\boldsymbol {0}}=A$
• $\{1\}\cdot A=A$
• $S_{1}\cdot (S_{2}\cdot A)=(S_{1}\cdot S_{2})\cdot A$
• $S\cdot (A+B)\subset S\cdot A+S\cdot B$
• $(S_{1}+S_{2})\cdot A\subset S_{1}\cdot A+S_{2}\cdot A$
• ${\boldsymbol {0}}\in A-A$, ale obecně $A-A$ nemusí obsahovat pouze nulový vektor. Vztah $A-A=A$ platí, pokud je $A$ podprostor.
• Pro množiny splňující $\emptyset \neq A_{1}\subset A\subseteq V$, $\emptyset \neq B_{1}\subset B\subseteq V$ a $\emptyset \neq S_{1}\subset S\subseteq T$ platí:

$S_{1}\cdot A_{1}\subset S\cdot A\quad {\text{a také}}\quad A_{1}+B_{1}\subset A+B.$

Příklady vektorových prostorů

V následujícím textu jsou uvedeny příklady nejčastěji používaných vektorových prostorů. V numerické matematice se nejčastěji uplatňují konečnědimenzionální vektorové prostory, které jsou definovány nad číselnými tělesy. Výhodou těchto prostorů je možnost snadno zavést bázi, díky níž lze každý vektor popsat pomocí jeho souřadnic. Tyto souřadnice tvoří $n$-tici čísel.

Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru je možné omezit se na studium prostoru n-tic čísel, jehož vlastnosti jsou přiblíženy v následujícím oddíle. Naopak prostory s nekonečnou dimenzí, například prostor spojitých funkcí nebo prostor posloupností, mají složitější strukturu, přičemž jejich příklady jsou rovněž uvedeny níže.

Další příklady vektorových prostorů jsou k dispozici v oddíle Vektorové prostory s dodatečnou strukturou.

Aritmetické vektory

Podrobnější informace naleznete v článku Aritmetický vektor.

Pro těleso $T$ a přirozené číslo $n$ lze vzít za množinu vektorů kartézský součin $T\times \ldots \times T=T^{n}$, čili množinu uspořádaných n-tic prvků z tělesa $T$. Na této množině jsou definovány operace sčítání a násobení skalárem po složkách. Formálně, pro dvě uspořádané $n$-tice ${\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ a ${\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ se jejich součet definuje jako

${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\ldots ,u_{n}+v_{n}),$

a skalární násobek vektoru ${\boldsymbol {u}}$ skalárem $a\in T$ je definován předpisem:

$a{\boldsymbol {u}}=(au_{1},au_{2},\ldots ,au_{n}).$

Množina všech uspořádaných $n$-tic s tělesem $T$ a s výše definovanými operacemi sčítání a skalárních násobků tvoří vektorový prostor, nazývaný aritmetický vektorový prostor dimenze $n$ nad tělesem $T$ (též $n$-rozměrný aritmetický vektorový prostor nad tělesem $T$). Jeho prvky se nazývají aritmetické vektory. Vzhledem k častému používání tohoto typu vektorů se obvykle přívlastek aritmetický vynechává a hovoří se pouze o vektorech. Lze se setkat i s pojmenováním vektorový prostor $T^{n}$ s přirozeně definovanými aritmetickými operacemi.

Často se za těleso volí množina reálných nebo komplexních čísel, čímž vznikají prostory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$.

Prvky aritmetických prostorů se obvykle zapisují jako sloupcové vektory:

${\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},$

Při práci pouze s aritmetickými vektory je možné zapsat prvky také jako řádkové vektory

${\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}),$

ovšem tento zápis se stává nevhodným, pokud jsou pro manupilaci s vektory použity operace pro matice, například součin matic.

Prostor uspořádaných $n$-tic má dimenzi rovnou $n$, neboť jednotlivé složky obecného n-složkového aritmetického vektoru jsou navzájem nezávislé. K jednoznačnému určení libovolného vektoru v tomto prostoru je třeba právě $n$ čísel.

Matice

Podrobnější informace naleznete v článku Matice.

Aritmetické vektory o $mn$ složkách nad tělesem $T$ lze zapsat do obdélníkové tabulky o $m$ řádcích a $n$ sloupcích:

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Uvedené objekty se nazývají matice typu $m\times n$ a spolu operacemi sčítání a násobení skalárem (analogicky k aritmetickým vektorům) tvoří vektorový prostor značený obvykle $T^{m\times n}$. Pro matice ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in T^{m\times n}$ se součet i skalární násobek provádí po složkách:

${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\ldots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\ldots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\ldots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\ldots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}},$

$c\cdot {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}c\cdot a_{11}&c\cdot a_{12}&\ldots &c\cdot a_{1n}\\c\cdot a_{21}&c\cdot a_{22}&\ldots &c\cdot a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c\cdot a_{m1}&c\cdot a_{m2}&\ldots &c\cdot a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Uspořádání složek do obdélníku nemění základní charakter těchto objektů; stále se s nimi zachází jako s aritmetickými vektory. Rozdíl nastává pouze tehdy, pokud jsou zavedeny další operace, například vzájemné násobení matic.

Dimenze prostoru $T^{m\times n}$ je $m\cdot n$, protože jednotlivé složky matic jsou nezávislé a každá z nich přispívá k určení jednoho rozměru vektorového prostoru.

Lineární operátory

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární operátor.

Ve studiu vektorových prostorů je důležitým objektem pojem lineárního operátoru. Uvažuje se vektorový prostor $(V,T,+,\cdot )$ a zobrazení $L:V\to V$, které přiřazuje každému vektoru z $V$ jiný vektor z $V$. Zobrazení $L$ se nazývá lineární operátor, pokud splňuje dvě základní vlastnosti:

• Aditivita: $L({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=L({\boldsymbol {u}})+L({\boldsymbol {v}})$ pro všechna ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V$.
• Homogenita: $L(a{\boldsymbol {u}})=aL({\boldsymbol {u}})$ pro všechna ${\boldsymbol {u}}\in V$ a $a\in T$.

Aditivita vyjadřuje, že obraz součtu vektorů je součet obrazů, zatímco homogenita, že obraz násobku vektoru skalárem je násobek obrazu.

Pokud je vektorový prostor $V$ konečně dimenzionální, například aritmetický vektorový prostor dimenze $n$, pak lineární operátor působí na vektory z $V$ tak, že zachovává lineární kombinace:

$L(a{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=aL({\boldsymbol {u}})+L({\boldsymbol {v}}).$

Pro libovolné dva lineární operátory $A,B\in {\mathcal {L}}(V)$ lze zavést součet a násobek skalárem definované bodově:

$(A+B)({\boldsymbol {u}})=A({\boldsymbol {u}})+B({\boldsymbol {u}}),\quad (aA)({\boldsymbol {u}})=aA({\boldsymbol {u}}),$

kde ${\boldsymbol {u}}\in V$. S těmito operacemi tvoří množina všech lineárních operátorů ${\mathcal {L}}(V)$ spolu s tělesem $T$ vektorový prostor.

Lineární operátory představují speciální případ obecnějšího konceptu lineární zobrazení, kdy zobrazení $L:V\to W$ převádí vektory z jednoho vektorového prostoru $V$ do jiného vektorového prostoru $W$ a zároveň zachovává aditivitu a homogenitu. Tato zobrazení lze rovněž sčítat a násobit skalárem, čímž vzniká vektorový prostor lineárních zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory.

Dimenze prostoru lineárních operátorů ${\mathcal {L}}(V)$ závisí na dimenzi prostoru $V$. Pokud je dimenze $V$ konečná a rovná $n$, lze každý vektor ${\boldsymbol {u}}\in V$ vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze $({\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})$:

${\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {e}}_{i},$

kde $a_{i}$ jsou souřadnice vektoru. Působením lineárního operátoru $L$ se pak uplatní

$L({\boldsymbol {u}})=L{\big (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\big )}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}L({\boldsymbol {e}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {l}}_{i},$

kde ${\boldsymbol {l}}_{i}=L({\boldsymbol {e}}_{i})$. Každý ${\boldsymbol {l}}_{i}$ lze zapsat v bázi $({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})$ jako

${\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}\beta _{ij}{\boldsymbol {e}}_{j},$

z čehož vyplývá

$L({\boldsymbol {u}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}\beta _{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}.$

Celkem tedy lineární operátor určuje $n^{2}$ koeficientů $\beta _{ij}$, které plně charakterizují jeho působení. Z toho plyne, že dimenze prostoru ${\mathcal {L}}(V)$ je $n^{2}$. V případě nekonečnědimenzionálního prostoru $V$ je dimenze prostoru lineárních operátorů rovněž nekonečná.

Posloupnosti

Podrobnější informace naleznete v článku Posloupnost.

Posloupnosti představují přirozené zobecnění aritmetických vektorů na nekonečnědimenzionální prostor. Místo uspořádaných $n$-tic se nyní uvažují posloupnosti prvků z tělesa, které obsahují nekonečně mnoho složek. Operace sčítání a násobení prvkem tělesa jsou definovány analogicky k aritmetickým vektorům: součet dvou posloupností se provádí po složkách a násobení skalárem se aplikuje na každou složku posloupnosti.

Množina všech posloupností prvků z daného tělesa tvoří vektorový prostor, přičemž nulovým vektorem je posloupnost nul a opačný vektor k dané posloupnosti se získá změnou znaménka všech prvků posloupnosti.

Zvláštní zájem je o posloupnosti konvergentní. Aby množina konvergentních posloupností tvořila vektorový prostor, je nutné ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení skalárem. Omezíme-li se na těleso reálných čísel $\mathbb {R}$, využijeme základní vlastnosti limit:

$\lim _{k\to \infty }(a_{k}+b_{k})=\lim _{k\to \infty }a_{k}+\lim _{k\to \infty }b_{k},\quad \lim _{k\to \infty }(c\cdot a_{k})=c\lim _{k\to \infty }a_{k}.$

Z toho plyne, že součet dvou konvergentních posloupností $(a_{k})$ a $(b_{k})$ je rovněž konvergentní a že skalární násobek konvergentní posloupnosti je konvergentní posloupnost.

Množina reálných konvergentních posloupností je tedy uzavřená vůči sčítání a násobení skalárem. Tato množina tvoří podprostor vektorového prostoru všech posloupností reálných čísel.

Ačkoli jsou konvergentní posloupnosti na jednotlivé prvky omezovány podmínkou konvergence, má prostor všech konvergentních posloupností nekonečnou dimenzi. Jedná se tedy o nekonečnědimenzionální podprostor prostoru všech posloupností reálných čísel.

Polynomy

Podrobnější informace naleznete v článku Polynom.

Prostor polynomů tvoří množina všech polynomů jedné reálné proměnné s koeficienty z tělesa (obvykle $\mathbb {R}$ nebo $\mathbb {C}$). Operace sčítání a násobení skalárem se definují obdobně jako u posloupností – po složkách koeficientů polynomů.

Prostor všech polynomů je nekonečnědimenzionální a obvykle se značí ${\mathcal {P}}$. V rámci tohoto prostoru lze identifikovat podprostor konečnědimenzionální. Konkrétně jde o množinu všech polynomů, jejichž stupeň je menší nebo roven zadanému přirozenému číslu $n$. Množina je uzavřená vůči sčítání a násobení skalárem, protože součet dvou polynomů se stupněm nejvýše $n$ je rovněž polynom se stupněm nejvýše $n$ a nenulový skalární násobek polynomu zachovává stupeň.

Tento konečnědimenzionální vektorový prostor se pak značí ${\mathcal {P}}_{n+1}$. Obsahuje i nulový polynom, jehož stupeň se obvykle nedefinuje. Každý polynom stupně $n$ je jednoznačně určen $n+1$ koeficienty – koeficientem u každé mocniny proměnné od 0 do $n$. Z toho vyplývá, že dimenze prostoru ${\mathcal {P}}_{n+1}$ je rovna $n+1$.

Spojité funkce

Podrobnější informace naleznete v článku Spojitá funkce.

Součet funkcí: součet funkce sinus a exponenciální funkce je $\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ kde $(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)$.

Prostor spojitých funkcí tvoří množina všech spojitých reálných funkcí jedné reálné proměnné braná nad tělesem reálných čísel $\mathbb {R}$. Operace sčítání funkcí a násobení funkcí skalárem se definují bodově, tedy pro libovolné funkce $f,g$ a skalár $a\in \mathbb {R}$ platí

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (af)(x)=af(x),$

kde $x$ probíhá reálnou osu.

Součet dvou spojitých funkcí je opět spojitá funkce a násobek spojité funkce reálným číslem zachovává spojitost. Jinými slovy, množina všech spojitých funkcí je proto uzavřená vůči sčítání a násobení skalárem. Ověřením axiomů vektorového prostoru lze prokázat, že tato množina tvoří vektorový prostor.

Dimenze prostoru spojitých funkcí je nekonečná, což odlišuje tento prostor od konečnědimenzionálních příkladů, jako jsou aritmetické vektory nebo polynomy omezeného stupně.

Prostor spojitých funkcí je podprostorem vektorového prostoru všech reálných funkcí jedné proměnné.

Vektorové prostory s dodatečnou strukturou

Především ve funkcionální analýze se uvažují vektorové prostory s dodatečnou strukturou, např.

• Banachovy prostory, což jsou úplné normované prostory. Normu lze neformálně chápat jako vzdálenost mezi vektory, která je konzistentní se strukturou vektorového prostoru, např. pro libovolné vektory ${\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}$ platí $\operatorname {dist} ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})=\operatorname {dist} ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {b}}+{\boldsymbol {c}})$.
• Unitární prostory – jde o normované prostory, jejichž norma vychází ze skalárního součinu a splňuje jeho základní vlastnosti. Pokud je takový prostor navíc úplný, je často považován za Hausdorffův prostor. Typickým příkladem jsou prostory Lebesgueovsky měřitelných komplexních funkcí.
• Afinní prostory – rozšiřují vektorový prostor o množinu bodů a definují operaci sčítání bodu s vektorem tak, že pro libovolné dva body existuje právě jeden vektor, který je spojuje. Speciálním případem je Euklidovský prostor, kde zaměření bodů tvoří unitární prostor.

Tyto dodatečné struktury umožňují zkoumat vlastnosti funkcí, posloupností či geometrických objektů v rámci vektorových prostorů s konkrétními topologickými nebo metrickými vlastnostmi.

Normované vektorové prostory

Podrobnější informace naleznete v článku Normovaný lineární prostor.

Nechť $V$ je vektorový prostor nad číselným tělesem $T$. Pro účely měření „délky“ vektorů je v matematice užitečné zavést tzv. normu, což je zobrazení, které přiřazuje každému vektoru jedno nezáporné reálné číslo. Hodnota normy vektoru se interpretuje jako jeho délka.

Norma, značená $||\cdot ||$, je zobrazení $||\cdot ||:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}$, splňující následující axiomy:

1. Definitnost: $\forall {\boldsymbol {u}}\in V:||{\boldsymbol {u}}||=0\iff {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$. Nulový vektor má nulovou normu a žádný jiný vektor nulovou normu nemá.
2. Homogenita: $\forall a\in T:||a{\boldsymbol {u}}||=|a|\cdot |{\boldsymbol {u}}||$. Změna velikosti vektoru násobením číslem se promítne do odpovídající změny jeho normy.
3. Trojúhelníková nerovnost: $\forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V:||{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}||\leq ||{\boldsymbol {u}}||+|{\boldsymbol {v}}||$.

Norma tedy zachovává geometrickou intuici o délkách, například ve smyslu existence trojúhelníku tvořeného vektory ${\boldsymbol {u}}$, ${\boldsymbol {v}}$ a jejich součtem ${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}$.

Zavedením normy se vektorový prostor $V$ stává normovaným vektorovým prostorem, který je zároveň metrickým prostorem s metrikou definovanou vztahem

$\operatorname {dist} ({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=||{\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}||.$

Normované prostory poskytují rámec pro zavedení vzdálenosti, konvergence a dalších analytických vlastností vektorů. Typickými příklady jsou prostory $\mathbb {R} ^{n}$ s různými normami, například eukleidovská norma, maxnorma nebo taxicab-norma. Dále každý prostor se skalárním součinem je automaticky normovaným vektorovým prostorem, protože skalární součin indukuje normu definovanou jako $||{\boldsymbol {u}}||={\sqrt {\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}\rangle }}$.

Normované vektorové prostory jsou základními objekty v lineární analýze a funkcionální analýze, protože umožňují formálně studovat vzdálenosti, konvergenci posloupností a kontinuitu lineárních operátorů.

Unitární prostory (prostory se skalárním součinem)

Podrobnější informace naleznete v článku Unitární prostor.

Unitární prostor (též „prostor se skalárním součinem“) je takový vektorový prostor, na němž je navíc definována funkce přiřazující dvěma vektorům skalár a splňující několik axiomů, díky kterým připomíná skalární součin z běžných prostorů konečné dimenze. Každý unitární prostor je zároveň normovaným prostorem, tj. k vektoru lze definovat jeho délku.

Unitární prostory (zejména různé Hilbertovy prostory, tj. úplné unitární prostory) pak připomínají běžný prostor mnohem více, než jiné vektorové prostory. Např. v nich platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost, a proto na ně lze z běžných prostorů přenést např. definici úhlu dvou vektorů, a to vzorcem $\theta =\arccos \left({\frac {|{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}|}{\|{\boldsymbol {u}}\|\|{\boldsymbol {v}}\|}}\right)$.

Dva nenulové vektory, jejichž skalární součin je nulový se nazývají ortogonální, což umožňuje na unitární (a zejména Hilbertovy) prostory zobecnit různé postupy, jako je např. metoda nejmenších čtverců.

Topologický vektorový prostor

Podrobnější informace naleznete v článku Topologický vektorový prostor.

Topologický vektorový prostor je matematická struktura, která spojuje vlastnosti vektorového prostoru a topologického prostoru. Uvažuje se vektorový prostor $V$ nad tělesem $T$, vybavený topologií $\tau$, přičemž se požaduje, aby algebraické operace vektorového prostoru byly v této topologii spojité.

Formálně je $(V,\tau )$ topologickým vektorovým prostorem, právě když platí:

• Operace sčítání vektorů $+$, chápaná jako zobrazení $+:(V\times V,\tau ')\to (V,\tau )$, je spojitá.
• Operace násobení vektoru prvkem z tělesa $\cdot$, chápaná jako zobrazení $\cdot :(T\times V,\tau '')\to (V,\tau )$, je spojitá.
• Prostor $(V,\tau )$ je Hausdorffův.

V uvedených definicích představuje $\tau '$ součinovou topologii na kartézském součinu $V\times V$ a $\tau ''$ součinovou topologii na $T\times V$.

Podmínka Hausdorffovosti zajišťuje, že pro libovolné dva vektory existují jejich okolí bez společných bodů, tedy že prostor umožňuje jednoznačně rozlišovat různé vektory. Ne každý vektorový prostor s topologií však tyto podmínky splňuje; pouze ty, které je splňují, tvoří topologické vektorové prostory.

Historie

Vektorový prostor vznikl abstrakcí dosud známých matematických objektů, jako byly matice, soustavy lineárních rovnic nebo vektory ve fyzice. Podobně jako u samotné lineární algebry lze jeho vznik klást do konce 19. a počátku 20. století. Slovo „vektor“ pochází z latinského vector, znamenajícího nosič. Oproti skaláru se totiž vyznačuje tím, že „nese“ i směr.

Vektorové prostory vycházejí z afinní geometrie prostřednictvím zavedení souřadnic v rovině nebo trojrozměrném prostoru. Kolem roku 1636 francouzští matematici René Descartes a Pierre de Fermat položili základy analytické geometrii tím, že ztotožnili řešení rovnice o dvou neznámých s body na rovinné křivce. Aby bylo možné dosáhnout geometrických řešení bez použití souřadnic, Bernard Bolzano v roce 1804 zavedl určité operace s body, přímkami a rovinami, které představují předchůdce vektorů. Giovanni Bellavitis (1833) zavedl ekvivalenci na orientovaných úsečkách, které mají stejnou délku a směr, a tuto relaci nazval ekvipolence. Eukleidovský vektor je pak třída ekvivalence této relace.

Vektory byly se znovu objevily se zavedením reprezentace komplexních čísel Jeanem-Robertem Argandem a Williamem Hamiltonem, coby prvky prostoru $\mathbb {R} ^{2}$, a dále s Hamiltonovým objevem kvaternionů, a jejich reprezentací v $\mathbb {R} ^{4}$. Manipulace s vektory pomocí lineárních kombinací sahá až k Edmondu Nicolasovi Laguerreovi, který ve své práci z roku 1867 také definoval soustavy lineárních rovnic.

Roku 1857 zavedl Arthur Cayley maticový zápis, který poskytuje jednoduchý popis lineárních zobrazení. Přibližně ve stejné době Hermann Grassmann studoval barycentrický počet zavedený Augustem Möbiem již roku 1827. Grassmann si představoval množiny abstraktních objektů doplněné o operace. Ve svém díle Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik z roku 1844 zavedl pojmy lineární nezávislost, dimenze i skalární součin. Navíc dokázal tvrzení, která nyní známe pod názvy Steinitzova věta, věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů, nezávislost dimenze na volbě báze, vzorec pro transformaci souřadnic při přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru a jiné. Grassmannovo dílo přesahuje rámec vektorových prostorů, neboť uvažoval i součin vektorů, a tím dospěl ke struktuře, která se dnes nazývá algebra.

Axiomatickou definici vektorového prostoru pak jako první podává Giuseppe Peano ve svém díle Calcolo geometrico secundo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva z roku 1888. Peanova axiomatizace umožnila existenci vektorových prostorů nekonečné dimenze, avšak Peano tuto teorii dále nerozvíjel. Peanovy axiomy přejal v roce 1897 Salvatore Pincherle a podnikl první kroky v teorii nekonečněrozměrných vektorových prostorů.

Vektorový prostor v dnešní podobě je poprvé definován v Banachově dizertační práci z roku 1920 a v moderních učebnicích se tento pojem poprvé objevuje v učebnici Modern Algebra od Bartela van der Waerdena z roku 1930.

Důležitý pokrok ve vývoji teorie vektorových prostorů představuje Lebesgueova konstrukce funkčních prostorů. Formální popis těchto prostorů podali kolem roku 1920 Stefan Banach a David Hilbert. V té době se algebra a nově vzniklá obor funkcionální analýza začaly vzájemně ovlivňovat, zejména prostřednictvím klíčových pojmů, jako jsou prostory p-integrovatelných funkcí ($L^{p}$) a Hilbertovy prostory.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Vector space na anglické Wikipedii a Vektorraum na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. S. 96. 
• BALKOVÁ, Ľubomíra. Lineární algebra 1. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 2013. ISBN 978-80-01-05346-1. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Metrický prostor
• Topologický prostor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektorový prostor na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph156663, ph168763 BNF: cb11947083w (data) GND: 4130622-3 LCCN: sh85142456 NLI: 987007534278205171

Portály: Matematika