Úplný metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).

Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.

Úplný obal[editovat | editovat zdroj]

Ke každému metrickému prostoru (\mathbf{M},\rho) existuje takový úplný metrický prostor \mathbf{M}^*, že \mathbf{M} je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor \tilde{\mathbf{M}} hustý v \mathbf{M}^*. Prostor \mathbf{M}^* nazýváme úplným obalem metrického prostoru \mathbf{M}.

Platí, že pokud jsou (\mathbf{M}^*,\rho_1), (\mathbf{M}^{**},\rho_2) úplné obaly metrického prostoru (\mathbf{M},\rho), pak existuje izometrické zobrazení f:\mathbf{M}^* \to \mathbf{M}^{**}.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.
  • Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže Fn je uzavřená a neprázdná, Fn+1Fn pro každé n, a diam(Fn) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině  Fn.
  • Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
  • Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
  • Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů[editovat | editovat zdroj]

  • Prostor reálných čísel \mathbb{R} s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel \mathbb{C} s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
  • Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: \rho (a, b) = \| a - b \| je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
  • Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
  • Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu C(\langle a, b\rangle) s metrikou
    \rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}
je úplný.

Příklady neúplných prostorů[editovat | editovat zdroj]

 1, {1 \over 2}, {1 \over 3} , {1 \over 4}\ldots \,\!

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články[editovat | editovat zdroj]