Úplný metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).

Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.

Úplný obal[editovat | editovat zdroj]

Ke každému metrickému prostoru existuje takový úplný metrický prostor , že je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor hustý v . Prostor nazýváme úplným obalem metrického prostoru .

Platí, že pokud jsou úplné obaly metrického prostoru , pak existuje izometrické zobrazení .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.
  • Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže Fn je uzavřená a neprázdná, Fn+1Fn pro každé n, a diam(Fn) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině  Fn.
  • Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
  • Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
  • Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů[editovat | editovat zdroj]

  • Prostor reálných čísel s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
  • Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
  • Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
  • Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu s metrikou
je úplný.

Příklady neúplných prostorů[editovat | editovat zdroj]

  • Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel , , , , a dále dle desetinného rozvoje cisla , která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
  • Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu není konvergentní posloupnost

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články[editovat | editovat zdroj]