Cauchyovská posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Definice[editovat | editovat zdroj]

V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:

.

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost racionálních nebo reálných je cauchyovská, pokud ke každému existuje index takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než :

.

Důsledky definice[editovat | editovat zdroj]

  • Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor , v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru , se nazývá úplný metrický prostor.
  • Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
  • Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Harmonická posloupnost je cauchyovská.
    Důkaz: Pro libovolně zvolené lze vždy najít tak, že pro libovolná platí
    .
  • Posloupnost racionálních čísel je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.