Posloupnost

Jako posloupnost se v matematice označuje uspořádaný (konečný či nekonečný) soubor matematických objektů, očíslovaných obvykle přirozenými čísly.

Posloupnost lze definovat jako zobrazení z množiny přirozených čísel do nějaké celkem libovolné množiny $\mathbf {A}$.

Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnosti, ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech anebo např. trojúhelníky či obecné množiny. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje číslo $a_{n}$, přičemž $a_{n}$ závisí pouze na hodnotě $n$. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje funkci $f_{n}(x)$, přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle $n$, ale také na parametrech funkce $f_{n}$ (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$, $(a_{n})$ nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze $a_{n}$. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti $a_{n}$, např. $a_{n}={\frac {n}{n+1}}$ odpovídá posloupnosti ${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\cdots$

Posloupnost může být také zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

$a_{1}=1,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}$.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vlastnosti

Posloupnost je

• neklesající, pokud pro všechna i platí $a_{i}\geq a_{i-1}$,
• nerostoucí, pokud pro všechna i platí $a_{i}\leq a_{i-1}$,
• klesající, pokud pro všechna i platí $a_{i}<a_{i-1}$,
• rostoucí, pokud pro všechna i platí $a_{i}>a_{i-1}$,
• zdola omezená v množině A, pokud existuje takové $L\in {\mathit {A}}$, že pro všechna i platí $a_{i}\geq L$,
• shora omezená v množině A, pokud existuje takové $K\in {\mathit {A}}$, že pro všechna i platí $a_{i}\leq K$.

Konečná posloupnost délky $n$ je

• čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost $(a_{1},a_{i})$ je rostoucí a $(a_{i},a_{n})$ je klesající
• bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém $\varepsilon$-okolí bodu d, tzn. v intervalu $(d-\varepsilon ,d+\varepsilon )$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_{n})$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_{n})$.

Limita

Související informace naleznete také ve článku Limita posloupnosti.

Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. $1,2,3,\ldots$ diverguje k $\infty$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. $1,-1,1,-1,\ldots$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_{n})_{n=1}^{\infty }$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz $(a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a_{n}$ (jinými slovy, z $a_{n}$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy

Související články

• Cauchyovská posloupnost
• Fareyova posloupnost
• Fibonacciho posloupnost
• Aritmetická posloupnost
• Geometrická posloupnost
• Řada
• Nekonečný součin