Posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako posloupnost se v matematice označuje uspořádaný (konečný či nekonečný) soubor matematických objektů, očíslovaných obvykle přirozenými čísly.

Posloupnost lze definovat jako zobrazení z množiny přirozených čísel do nějaké celkem libovolné množiny .

Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnosti, ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech anebo např. trojúhelníky či obecné množiny. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu přiřazuje číslo , přičemž závisí pouze na hodnotě . Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu přiřazuje funkci , přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle , ale také na parametrech funkce (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) , nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze . Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti , např. odpovídá posloupnosti

Posloupnost může být také zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost je

  • neklesající, pokud pro všechna i platí ,
  • nerostoucí, pokud pro všechna i platí ,
  • klesající, pokud pro všechna i platí ,
  • rostoucí, pokud pro všechna i platí ,
  • zdola omezená v množině A, pokud existuje takové , že pro všechna i platí ,
  • shora omezená v množině A, pokud existuje takové , že pro všechna i platí .
  • čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost je rostoucí a je klesající[1]
  • bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti[2]

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém -okolí bodu d, tzn. v intervalu , nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti , pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti .

Limita[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Limita posloupnosti.

Říkáme, že posloupnost

  • konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. konverguje k 0),
  • diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. diverguje k ), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. ).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost[editovat | editovat zdroj]

Je-li posloupnost (obecně reálných) čísel a rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z (jinými slovy, z vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě [online]. United Computer Wizards, 2011-11-21, [cit. 2015-10-21]. S. 10. Dostupné online.  
  2. MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě, S. 11.

Související články[editovat | editovat zdroj]