Posloupnost

Jako posloupnost se v matematice označuje (konečný či nekonečný) soubor matematických objektů, očíslovaných obvykle přirozenými čísly.

Posloupnost lze definovat jako zobrazení z množiny přirozených čísel do nějaké celkem libovolné množiny $\mathbf{A}$.

Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnosti, ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech anebo např. trojúhelníky či obecné množiny. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje číslo $a_n$, přičemž $a_n$ závisí pouze na hodnotě $n$. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje funkci $f_n(x)$, přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle $n$, ale také na parametrech funkce $f_n$ (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(a_n)$ nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze $a_n$. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti $a_n$, např. $a_n = \frac{n}{n+1}$ odpovídá posloupnosti $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots$

Posloupnost může být také zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

$a_1=1, a_2=1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vlastnosti

Posloupnost je

• neklesající, pokud pro všechna i platí $a_i \ge a_{i-1}$,
• nerostoucí, pokud pro všechna i platí $a_i \le a_{i-1}$,
• klesající, pokud pro všechna i platí =$a_i < a_{i-1}$,
• 'rostoucí', pokud pro všechna i platí $a_i > a_{i-1}$,
• zdola omezená v množině A, pokud existuje takové $L \in \mathit{A}$, že pro všechna i platí $a_i \ge L$,
• shora omezená v množině A, pokud existuje takové $K \in \mathit{A}$, že pro všechna i platí $a_i \le K$.

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém $\varepsilon$-okolí bodu d, tzn. v intervalu $(d-\varepsilon,d+\varepsilon)$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)$.

Limita

Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. $1, 2, 3, \ldots$ diverguje k $\infty$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. $1, -1, 1, -1, \ldots$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_n)_{n=1}^\infty$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a_n$ (jinými slovy, z $a_n$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Související články

• Cauchyovská posloupnost
• Fareyova posloupnost
• Aritmetická posloupnost
• Geometrická posloupnost
• Řada
• Nekonečný součin