Posloupnost

Posloupnost (sekvence) je v matematice konečná nebo nekonečná sada objektů, v níž záleží na pořadí a objekty se mohou opakovat. Například zápis libovolného slova (nebo libovolný řetězec znaků) lze považovat za konečnou posloupnost písmen. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí.

Pokud jsou všechny členy posloupnosti čísla, mluvíme o číselné posloupnosti. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném eukleidovském prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

Formální definice

Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Nekonečná posloupnost je zobrazení množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Posloupnost značíme obvykle $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, i když správnější by bylo (podobně jako u uspořádané n-tice) $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$, $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$, $(a_{n})$ nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze $a_{n}$. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti $a_{n}$, např. $a_{n}={\frac {n}{n+1}}$ odpovídá posloupnosti ${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\cdots$

Druhy posloupností

Jsou-li členy posloupnosti čísla, hovoříme o číselné posloupnosti, jsou-li to funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje funkci $f_{n}(x)$, přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle $n$, ale také na parametrech funkce $f_{n}$ (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Číselné posloupnosti

Podrobnější informace naleznete v článku Číselná posloupnost.

Číselná posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu $n$ přiřazuje číslo $a_{n}$, přičemž $a_{n}$ závisí pouze na hodnotě $n$.

Číselná posloupnost může být zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

$a_{1}=1,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vybraná posloupnost

Je-li $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_{n})_{n=1}^{\infty }$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak složené zobrazení $(a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a_{n}$ (jinými slovy, z $a_{n}$ vybereme některé členy, ale tak, že jejich indexy rostou, např. všechny liché členy).

Posloupnosti v topologických prostorech

Posloupnosti hrají důležitou roli v topologii, zvláště ve studiu metrických prostorů. Například:

• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je sekvenčně kompaktní.
• Zobrazení z metrického prostoru do jiného metrického prostoru je spojité právě tehdy, když obrazem každé konvergentní posloupnosti je konvergentní posloupnost.
• Metrický prostor je souvislý právě tehdy, když při každém rozdělení prostoru na dvě množiny, existuje v jedné z těchto množin posloupnost, která konverguje k bodu ve druhé z množin.
• Topologický prostor je separabilní právě tehdy, když existuje hustá posloupnost bodů.

Posloupnosti lze zobecnit na sítě nebo filtry. Tato zobecnění nám umožňují rozšířit některé z výše uvedených vět na prostory bez metriky.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sequence na anglické Wikipedii.

Související články

• Číselná posloupnost
• Kompaktní množina