Uspořádaná n-tice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako uspořádaná n-tice se v matematice označuje uspořádaný seznam konečného počtu n objektů (je proto možné se také setkat s pojmy jako uspořádaná k-tice apod., konkrétní varianty se pak nazývají uspořádané dvojice, uspořádané trojice atd.). Zapisuje se obvykle jako seznam těchto prvků, uzavřený do kulatých závorek.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Hlavní vlastnosti, které uspořádanou n-tici odlišují od množiny jsou:

  • uspořádaná n-tice může jeden objekt obsahovat vícekrát,
  • závisí na pořadí objektů. Tedy např. zatímco neexistuje množina {2, 2} (resp. je možné ji chápat jako totožnou s množinou {2}), je uspořádaná dvojice (2, 2) dobře definovaná a různá od jednoprvkové n-tice (2). Obdobně, množina {1, 2} je totožná s množinou {2, 1}, zatímco uspořádaná dvojice (1, 2) se uspořádané dvojici (2, 1) nerovná. Rovnost dvou uspořádaných n-tic je totiž definována jako
\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) = \left( b_1, b_2, \dots, b_n \right) \Leftrightarrow a_1 = b_1, a_2 = b_2, \dots, a_n = b_n

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Zatímco intuitivně je význam pojmu jasný, v rámci exaktnosti (zejména v axiomatické teorii množin) je nutno jej definovat pomocí množin.

Často se používá tato definice:

 (a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \}  \,\!

Potom lze uspořádanou n-tici (pro n > 2) chápat jako uspořádanou dvojici prvního prvku a zbytku, kterým je uspořádaná (n−1)-tice:

 ( a, b, c ) = ( a, ( b,c ))                \,\!
 ( a, b, c,d ) = ( a, (b,c,d ))             \,\!
\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) = \left( a_1, \left( a_2, \dots, a_n \right) \right)  \,\!

Tato definice má však nevýhodu, že uspořádanou 0-tici ani 1-tici je nutno definovat nějak extra. Přitom 0-tice a 1-tice jsou často praktické, aby bylo možné o pojmech jako n-ární operace nebo lineární kombinace n vektorů mluvit jednotně pro jakékoli  n \ge 0 .

Proto se někdy uspořádané n-tice definují tak, aby přechod od n-tice ke (n+1)-tici byl tentýž pro všechna  n \ge 0 :

  1. Uspořádaná 0-tice () je definována jako prázdná množina ∅.
  2. Pokud x je uspořádaná n-tice, pak {{a}, {a, x}} je uspořádaná (n+1)-tice, začínající prvkem a a pokračující prvky n-tice x.

Podle této definice je např. uspořádaná trojice (1, 2, 2) definována jako:

(1, 2, 2) = {{1}, {1, (2, 2)}} = {{1}, {1, {{2}, {2, (2)}}}} = {{1}, {1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}}}}

Využití[editovat | editovat zdroj]

Uspořádané n-tice se využívají k formální definici velkého množství matematických objektů, jejichž význam je sice jasný i bez nich, ale je nutné je definovat nějak formálně. Například:

  • Binární relace mezi množinami A, B je intuitivně chápana jako jakýkoli vztah (například "bod leží na úsečce"); formálně se definuje jako množina uspořádaných dvojic (a,b) takových, že a a b jsou v relaci (v množině budou tedy uvedeny všechny dvojice (bod, přímka) takové, že bod leží na dotyčné přímce). Totéž platí i o relacích jiné arity.
  • Totéž platí i pro zobrazení, neboť to je speciálním případem relace. Význam pojmu "funkce y = 3x-1" je sice intuitivně zřejmý, ovšem formálně se jedná o množinu uspořádaných dvojic   \{ (0,-1), (1,2), (2,5),(3,8),(4,11) \ldots \}\,\! .
  • N-tice se v matematice používají pro definice objektů, které se skládají z nějakých oddělených částí, například konečný automat, gramatika v teorii automatů apod.

Využití v matematických strukturách[editovat | editovat zdroj]

Matematické struktury se formálně definují jako uspořádané n-tice, kde prvním prvkem je nosná množina a následuje informace popisující strukturu této množiny. Např. graf je definován jako uspořádaná dvojice (V, E), ve které V je množina vrcholů a E je množina hran. Podobné je tomu u algebraických struktur, jako je např. grupa.

Tento formalismus je nezbytný, neboť otázka "Je grupa celých čísel \mathbb{Z} izomorfní s grupou kladných racionálních čísel \mathbb{Q}^{+}?" je nesprávně položená, přestože jí když jí každý rozumí, neboť na každé z těchto množin existuje (mezi mnoha možnými) jeden obvyklý způsob, jak zavést grupovou operaci. Tyto množiny s obvyklými operacemi izomorfní nejsou, ale jelikož mezi nimi existuje bijekce, lze na \mathbb{Q^{+}} definovat operaci \tilde{+} tak, aby izomorfní byly.

Správné je tedy říci: Grupa (\mathbb{Z},+) \,\! není izomorfní s grupou \mathbb{(Q^{+}}, . \,\!), ale je izomorfní s grupou (\mathbb{Q}^{+}, \tilde{+}) \,\!.

Využití k odlišení objektů[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Disjunktní sjednocení.

V matematice se provádí mnoho konstrukcí, při nichž potřebujeme do množiny C zahrnout prvky z množin A a B tak, aby u prvků  x\in A\bigcap B bylo možné v C odlišit "prvek převzatý z A" od "prvku převzatého z B". To lze formálně provést tak, že

 C = \{ (a,0) | a \in A\} \;\bigcup\; \{ (b,1) | b \in B\}   .

Tedy před každý prvek z A vložíme (formou uspořádané dvojice) nějaký matematický objekt, který značí "tento prvek pochází z A " (v našem případě jsme k tomu použili číslo 0) a obdobně s množinou B. Vytčeného cíle jsme dosáhli, neboť  (x,0)\,\text{a}\,(x,1) jsou dva různé matematické objekty.

Příklad: Orientovaný graf a neorientovaný graf jsou někdy pokládány za speciální případy obecného grafu, který může obsahovat orientované i neorientované hrany. Zdánlivě evidentní způsob, jak tuto definici formalizovat, by byl říci, že graf je uspořádaná dvojice (V,N) taková, že každý prvek N je tvaru

  • buď (a,b), kde a,b \in V \,\! (orientovaná hrana)
  • nebo \{a,b\}, kde a,b\in V, a \neq b \,\! (neorientovaná hrana)

Tato definice je ovšem nepoužitelná, pokud pro nějaké  a,b,c,d \in V, c\neq d \,\! platí (a,b) = \{c,d\} \,\! . Pak by o nějakém prvku N nebylo možno určit, zda jde o orientovanou hranu z a do b nebo o neorientovanou hranu mezi c a d.

To, zda uspořádaná dvojice může být totožná s nějakou množinu, samozřejmě závisí na definici pojmu "uspořádaná dvojice". V naivní teorii množin je zvykem se touto definicí nezabývat a předpokládat, že uspořádaná dvojice je jiný druh objektu než množina. Pak tento problém nemůže nastat.

Pokud však potřebujeme chceme s těmito pojmy pracovat exaktně, pak je nutné uspořádané dvojice formálně definovat a výše uvedený stav nastat může. Ošetřit jej lze tak, že každý prvek N bude tvaru

  • buď ((a,b),   \, 0), kde a,b \in V \,\! (orientovaná hrana)
  • nebo (\{a,b\}, \, 1), kde a,b\in V, a \neq b \,\! (neorientovaná hrana)

To popsaný problém spolehlivě řeší.

Související články[editovat | editovat zdroj]