Binární relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel , . Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z k prvkům z . Vidíme, že číslo (z množiny ) „je větší“ než číslo z . A říkáme, že prvek je v binární relaci „je větší“ s prvkem , zkráceně „je větší“ . Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici . Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic . Na množinu lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu . Množiny lze použít jako definici binární relace.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Binární relace je uspořádána trojice , kde a jsou libovolné množiny a je podmnožina kartézského součinu . Množině se říká definiční obor, množině obor hodnot a množinu nazýváme graf relace.

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí , nebo pokud chceme rozlišit, o kterou relaci se jedná, pak , kde a je označení příslušné množiny z definice.

Druhy relací[editovat | editovat zdroj]

Binární relace je:

  • symetrická, pokud platí , pak platí .
Příkladem může být relace „je sourozenec“. Je-li i množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já sestra) a také (sestra já). Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická.
  • antisymetrická pokud a současně , pak platí .
  • tranzitivní, pokud a současně , pak platí .
Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.
  • reflexivní, pokud pro každé platí . (Prvek je v relaci sám se sebou.)
Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Operace s relacemi[editovat | editovat zdroj]

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:

  • Inverzní relace k relaci mezi množinami a je relace
  • Relace složená z relací a je relace
  • Průnik relací a je relace
  • Sjednocení relací a je relace

Literatura[editovat | editovat zdroj]

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]