Definiční obor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Funkce zobrazuje množinu do množiny . V tomto případě je definována na celé množině . V obecnějším případě se však může stát, že ne pro všechny prvky z množiny existuje jejich vzor při zobrazení .

Definiční obor funkce je množina všech hodnot, pro které je funkce definována. Definiční obor můžeme definovat pro jakékoli množinové zobrazení. Nechť je zobrazení z množiny do množiny . Pak definiční obor zobrazení tvoří právě ty prvky množiny , pro něž je definován obraz při zobrazení . Obecně nemusí být zobrazení definováno na celé množině . V tom případě tvoří jeho definiční obor vlastní podmnožinu množiny . Občas se kromě názvu definiční obor používá také označení doména. Definiční obor zobrazení se značí většinou , či . Posledně uvedený symbol pak vychází z anglického názvu pro definiční obor (domain) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení zapsat jako

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce na množině reálných čísel není definována pro . Její definiční obor je tedy množina .
  • Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce tangens, která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla .
  • Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor derivace, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli

kde jsme jako označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí . V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace ty funkce z , pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.

Názvosloví[editovat | editovat zdroj]

Mějme zobrazení . V závislosti na tom, zda je zobrazení definováno pro všechny prvky nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:

  • Pokud je zobrazení definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že zobrazuje množinu do množiny .
  • Pokud naopak existuje prvek z množiny , pro něž není zobrazení definováno, pak říkáme, že zobrazení zobrazuje z množiny do množiny . Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj. , uvedena v závorce. Neboli

Obvykle se ale za množinu bere právě definiční obor zobrazení a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.

Uvažujme nyní topologický prostor a na něm definované zobrazení , které zobrazuje do nějaké množiny . O zobrazení řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru . Neboli

kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Omezení definičního oboru[editovat | editovat zdroj]

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci a platí-li , můžeme omezit funkci na množinu , což značíme

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny . Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny . Pro funkci se nazývá zúžení na množinu . Místo slova zúžení lze použít i cizí slovo restrikce.

Související články[editovat | editovat zdroj]