Funkce (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Zobrazení z množiny M (nahoře) resp. množiny D (dole) na množinu T (přerušovaná čára) resp. do množiny T (plná čára).

Funkce je v matematice název pro zobrazení z množiny na nebo do číselné množiny (většinou reálných nebo komplexních čísel), či na nebo do vektorového prostoru tvořeného uspořádanými n-ticemi čísel (vektorová funkce). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny (kde množina se nazývá definiční obor funkce) přiřadí právě jedno číslo nebo vektor z množiny (kde množina resp. podmnožina se nazývá obor hodnot funkce).

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkce je binární relací , kde každému prvku je přiřazeno právě jedno jedno číslo tak, že (jestliže a , pak ). Místo píšeme , kde nazýváme nezávisle proměnnou (argumentem) funkce a nazýváme závisle proměnnou (funkční hodnotou) funkce .

Definičním oborem funkce je podmnožina množiny všech prvků , ke kterým v relaci existuje právě jedna uspořádaná dvojice , kde .

Oborem hodnot funkce je množina všech prvků , ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice , kde .

U prvků množiny , které nejsou prvky definičního oboru , říkáme, že funkce v nich není definována. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor , pak se za něj obvykle považuje množina všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina přirozených, celých, racionálních, reálných nebo komplexních čísel. Argumenty definičního oboru mohou mít obecně více dimenzí, pokud mají nekonečnou dimenzi, nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Vektorovou funkci n reálných proměnných značíme , pak pro m=1 dostaneme , tj. reálná funkce více reálných proměnných a pro n=1 dostaneme , tj. reálná funkce reálné proměnné, kde zaměníme-li množinu reálných čísel za množinu komplexních čísel , mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné.

Funkci n reálných proměnných dále značíme:

  • pro
  • , kde představuje bod v n-rozměrném prostoru
  • , kde představuje polohový vektor bodu v n-rozměrném prostoru.

Zadání[editovat | editovat zdroj]

Tabulkou (výčtem hodnot)[editovat | editovat zdroj]

Funkci s diskrétním (oddělené hodnoty netvořící souvislý interval) oborem hodnot (ať už s diskrétním definičním oborem nebo funkci po částech konstantní) můžeme zadat výčtem hodnot, obvykle uspořádaným do tabulky.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Příkladem může být zadání funkce např. tabulkou

1 2 5 7 9
2 4 5 3 3

Definičním oborem je zde množina a oborem hodnot je množina .

Graficky[editovat | editovat zdroj]

Grafickým zadáním funkci vyjádříme grafem.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Příklad zadání funkce grafem ( označuje definiční obor a obor hodnot)

Zadání funkce grafem.
Zadání funkce grafem.

Analyticky[editovat | editovat zdroj]

Analytickým zadáním, tj. předpisem, rozumíme buďto explicitní vyjádření funkce ve tvaru , nebo implicitní vyjádření funkce ve tvaru . Dalším způsobem zadání funkce je vyjádření v parametrickém tvaru soustavou rovnic , , kde je vhodný parametr.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Např. je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou funkci zapsat rovnicí . Pro vyjádření v parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic , .

Rekurentně[editovat | editovat zdroj]

Rekurentním zadáním, tj. předpisem, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami funkce takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy a pro .

Uvedenou funkci lze také zapsat jako , tj. tato funkce počítá faktoriál čísla . Rekurzivní funkce našly uplatnění především ve výpočetní technice.

Průběh[editovat | editovat zdroj]

Vyšetřujeme-li průběh funkce, zkoumáme vlastnosti (graf) funkce, tj. hledáme body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce určujeme:

Stacionární (červené) a inflexní (modré) body funkce

Jako stacionární resp. inflexní bod funkce se označuje každý bod jejího definičního oboru, v němž je první resp. druhá derivace funkce nulová, tj. ve stacionárním resp. inflexním bodě platí: resp. pokud v tomto bodě derivace existují.

Jako extremální bod funkce se označuje každý stacionární bod jejího definičního oboru, v němž je druhá derivace funkce kladná (ostré lokální minimum) resp. záporná (ostré lokální maximum), tj. v extremálním bodě platí: resp. pokud v tomto bodě derivace existují.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Průběh funkce

Vyšetřujme průběh funkce :

  • zatímco lineární funkce je definována pro všechna , funkce logaritmus je definována pouze pro , tj. definičním oborem vyšetřované funkce bude interval .
  • průsečík s osou získáme z rovnice , tj. a průsečík s osou získáme z rovnice , tj. a .
  • určíme limitu v každém bodě definičního oboru: , tj. funkce je na definičním oboru spojitá.
  • určíme první derivaci funkce a položíme ji rovnu nule: , tj. , tj. bod je stacionární a
funkce je rostoucí na intervalu, ve kterém platí , tj. , tj. pro ,
funkce je klesající na intervalu, ve kterém platí , tj. , tj. pro ,

tj. z rozložení intervalů monotonie lze určit, že stacionární bod je ostré lokální minimum (), funkce je tedy zdola omezená.

  • vzhledem k tomu, že na celém definičním oboru, nemá funkce žádný inflexní bod.
  • asymptoty k funkci neexistují, neboť .
  • funkční hodnota lokálního minima je .
  • určíme-li v nulovém bodě pomocí l'Hospitalova pravidla jednostrannou limitu zprava: , funkci můžeme v nulovém bodě dodefinovat: , tj. rozšířit definiční obor na interval .

Prostá funkce[editovat | editovat zdroj]

Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát než jednou. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně její funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Funkci na definičním oboru označujeme jako prostou na , pokud pro každé dvě hodnoty z platí , tedy pro libovolnou dvojici různých hodnot jsou různé i hodnoty funkce .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Příkladem prosté funkce je lineární funkce pro , naopak příkladem neprosté funkce je kvadratická funkce , neboť např. .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pokud je funkce na ryze monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na také prostá, neboť se v žádném jiném bodě nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ryze monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ryzí monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ryze monotonní nejsou. Např. prostá funkce je na množině rostoucí, zatímco na množině klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

Souvislost s inverzní funkcí[editovat | editovat zdroj]

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Omezená funkce[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci a množinu .

Existuje-li číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že funkce je na shora ohraničená (omezená). Existuje-li supremum oboru hodnot funkce , pak také existuje číslo , a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že funkce je na zdola ohraničená (omezená). Existuje-li infimum oboru hodnot funkce , pak také existuje číslo , a funkce je tedy zdola omezená.

Existuje-li číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že funkce je na ohraničená (omezená). Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž .

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum. Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).

Algebraická funkce[editovat | editovat zdroj]

Polynomiální funkce[editovat | editovat zdroj]

Polynomiální funkci lze vyjádřit ve tvaru:

,

kde a je stupeň polynomu .

Racionální funkce[editovat | editovat zdroj]

Racionální funkci lze vyjádřit ve tvaru:

,

kde a je stupeň polynomu .

Iracionální funkce[editovat | editovat zdroj]

Iracionální funkce jsou funkce obsahující ve svém předpisu výraz , kde a jsou vzájemně nesoudělná čísla, jako např. druhá odmocnina.

Transcendentní funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako transcendentní. Mezi nižší transcendentní funkce se řadí funkce goniometrické, cyklometrické, hyperbolické, hyperbolometrické či exponenciální a logaritmické. Mezi vyšší transcendentní funkce se řadí například chybová funkce či eliptické integrály.

Mnohoznačná funkce[editovat | editovat zdroj]

Termín mnohoznačná (vícehodnotová) funkce vznikl v komplexní analýze analytickým rozšířením jednoznačné (jednohodnotové) funkce. Často se stává, že známe hodnotu komplexní analytické funkce komplexní proměnné v určitém okolí bodu . To je případ funkcí definovaných implicitně nebo Taylorovou řadou v okolí . V takovém případě lze rozšířit obor hodnot jednohodnotové funkce podél křivek v komplexní rovině vedoucích z bodu do bodu . Přitom zjistíme, že hodnota rozšířené funkce v bodě závisí na zvolené křivce z do a protože žádná z nových hodnot není přirozenější než ostatní, jsou všechny začleněny do vícehodnotové funkce. Příkladem je n-tá odmocnina komplexního čísla, což je n-značná funkce, např. pro druhou odmocninu dostaneme:

Operace s funkcemi[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci resp. s definičním oborem resp. . Společný definiční obor obou funkcí je průnikem obou definičních oborů, tj. .

Binární operace[editovat | editovat zdroj]

Součtem funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna .

Součinem funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna .

Podílem funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna , kde = .

Skládáním funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna , kde = .

Konvolucí funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna .

Korelací funkcí na označíme funkci takovou, že pro všechna .

Složením funkcí a je množina . Operace skládání funkcí nemusí být v obecném případě komutativní. Zatímco konvoluce je funkcí komutativní, pro vzájemnou korelaci to obecně neplatí (je komutativní pouze pro Hermitovské funkce, tj. funkce, pro které platí pro všechna , kde symbol značí komplexní sdružení).

Unární operace[editovat | editovat zdroj]

Inverzí funkce na označíme funkci takovou, že , kde pro každé existuje právě jedno tak, že , tj. je prostá funkce.

Graf inverzní funkce je osově souměrný s grafem funkce podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce je inverzní sama k sobě.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]