Asymptota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Asymptota.
Asymptota.

Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme bod T rovinné křivky a přímku p. Označme vzdálenost bodu T od přímky jako \nu. Pokud alespoň jedna souřadnice bodu T roste nade všechny meze a současně \lim\nu=0, pak se přímka p nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce[editovat | editovat zdroj]

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí[editovat | editovat zdroj]

Přímka y = kx + q je asymptotou grafu funkce y=f(x) se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-kx-q)=0.

Je-li rovnice asymptoty y = kx + q, potom platí:

k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}
q =\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx)

Asymptota bez směrnice[editovat | editovat zdroj]

Je-li funkce y=f(x) definovaná pro x \neq a \in \mathsf{R}, potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

x = a \,.

Asymptota kuželosečky[editovat | editovat zdroj]

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný bod.

Další asymptoty[editovat | editovat zdroj]

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

y = ax+b+\mu(x),

přičemž \lim_{x\to+\infty}\mu(x)=0, pak přímka y=ax+b je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku y=f(x) vztah \lim_{x\to\pm\infty}y=b, pak asymptotou křivky je přímka y=b.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku x=g(y) platí \lim_{y\to\pm\infty}x=c, pak asymptotou křivky je přímka x=c.

Související články[editovat | editovat zdroj]