Kuželosečka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Druhy kuželoseček

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Typy kuželoseček[editovat | editovat zdroj]

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

Conic sections 2n.png
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky[editovat | editovat zdroj]

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

,

kde koeficienty jsou reálná čísla, přičemž . Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v a .

Invarianty[editovat | editovat zdroj]

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • determinant kuželosečky
  • determinant kvadratických členů
  • třetím invarientem je stopa malé matice

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty , avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů[editovat | editovat zdroj]

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li , pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček
středové kuželosečky

nestředové kuželosečky

vlastní kuželosečky

reálná elipsa
hyperbola parabola

imaginární elipsa

nevlastní kuželosečky
dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem dvě reálné různoběžky
dvě různé reálné rovnoběžky

dvě splývající rovnoběžky

dvě imaginární rovnoběžky

Středové rovnice kuželoseček[editovat | editovat zdroj]

  • Kružnice:


  • Elipsa:


  • Parabola:


  • Hyperbola:

Výskyt a použití kuželoseček[editovat | editovat zdroj]

Kuželosečky mají praktické uplatnění v architektuře, optice, radiotechnice, astronomii a dalších oborech. Vlnění vycházející libovolným směrem z jednoho ohniska elipsy (nebo rotační eliptické plochy) je odráženo do druhého ohniska; této skutečnosti se využívá při výrobě laserů[1] a při vytváření tak zvaných šeptajících galerií, kdy slova šeptaná v jednom ohnisku klenby nebo zakřivené stěny jsou dobře slyšitelná pouze ve vzdáleném druhém ohnisku. Vlnění vycházející z ohniska paraboly je odráženo jako svazek rovnoběžných paprsků stejným směrem, čehož se využívá při výrobě světlometů, dalekohledů, parabolických antén a radioteleskopů. Pomocí parabolického zrcadla se zapaluje Olympijský oheň. Opominutí vlastností kuželoseček může vést k požárům, zraněním nebo poškozování věcí.[2]

Řešením nejjednodušší úlohy nebeské mechaniky – pohybu hmotného bodu v gravitačním poli centrálního tělesa – jsou kuželosečky. V prvním přiblížení lze pohyb planet, asteroidů, komet a meziplanetárních sond okolo Slunce, stejně jako pohyb přirozených i umělých satelitů okolo planet popsat jako pohyb lehčího objektu po kuželosečce okolo hmotnějšího objektu, viz Keplerovy zákony.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Lasery využívající pevné látky [online]. . Dostupné online.  
  2. Londýnský parabolický mrakodrap ničí auta, roztavil jaguára či dodávku [online]. MAFRA a.s., 2013-09-03. Dostupné online.  

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 112-113

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]