Kuželosečka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Druhy kuželoseček

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Typy kuželoseček[editovat | editovat zdroj]

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

Conic sections 2n.png
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky[editovat | editovat zdroj]

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0,

kde koeficienty a_{ij} jsou reálná čísla, přičemž a_{ij}=a_{ji}. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v x a y.

Invarianty[editovat | editovat zdroj]

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • determinant kuželosečky
\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
  • determinant kvadratických členů
\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
  • třetím invarientem je
S = a_{11} + a_{22}

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty a_{ij}, avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů[editovat | editovat zdroj]

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li \Delta\neq 0, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro \Delta=0 jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s \delta=0 jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro \delta\neq 0 se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček \delta\neq 0
středové kuželosečky
\delta=0
nestředové kuželosečky
\delta>0 \delta<0
\Delta\neq 0
vlastní kuželosečky
\Delta S < 0
reálná elipsa
hyperbola parabola
\Delta S > 0
imaginární elipsa
\Delta=0
nevlastní kuželosečky
dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem dvě reálné různoběžky a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0
dvě různé reálné rovnoběžky
a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0
dvě splývající rovnoběžky
a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0
dvě imaginární rovnoběžky

Středové rovnice kuželoseček[editovat | editovat zdroj]

  • Kružnice: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2


  • Elipsa: \frac{(x - m)^2}{a^2} + \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1


  • Parabola: (x - m)^2 = 2p(y - n)


  • Hyperbola: \frac{(x - m)^2}{a^2} - \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]