Hyperbola

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek Hyperbola (literatura).
Hyperbola jako kuželosečka.
Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Matematická vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Implicitní vyjádření

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek a konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém[editovat | editovat zdroj]

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.

Standardní popis hyperboly:

S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 – ohniska hyperboly
A, B – vrcholy hyperboly
o1 – hlavní osa hyperboly
o2 – vedlejší osa hyperboly
p1, p2asymptoty hyperboly
– délka hlavní poloosy
– délka vedlejší poloosy
excentricita
– délka hlavní osy
– délka vedlejší osy
X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole

Pokud , pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění[editovat | editovat zdroj]

  • Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou
Středová rovnice:
Obecná rovnice:
Rovnice asymptot:
Rovnice tečny v bodě :
  • Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou
Středová rovnice:
Obecná rovnice:
Rovnice asymptot:
Rovnice tečny v bodě :
  • Asymptoty rovnoběžné s osami a
Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x
Středová rovnice:

Obecná rovnice:
Rovnice asymptot:

Převedení obecné rovnice na středovou[editovat | editovat zdroj]

Uspořádáme členy v rovnici.

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou .
, , , , ,

Vzájemná poloha hyperboly a přímky[editovat | editovat zdroj]

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant je:

  • D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku
  • D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu[editovat | editovat zdroj]

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém[editovat | editovat zdroj]

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 102–103, 118–121 a 179–181
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 116–117

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]