Kvadratická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako kvadratická rovnice se v matematice označuje algebraická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně:

ax^2 + bx + c = 0

Zde jsou a, b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice, x je neznámá. Koeficient a je vždy různý od nuly, neboť pro a = 0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním (normovaném) tvaru, kde a = 1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

Jednotlivé členy mají také svá pojmenování: ax2 je kvadratický člen, bx je lineární člen a c absolutní člen.

Řešení rovnice[editovat | editovat zdroj]

Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant D = b^2 - 4ac. Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy:

  • D = 0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení x = \frac{-b}{2a}. Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru a(x + \frac{b}{2a})^2 = 0.
  • D > 0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Rovnici je možno zapsat ve tvaru a(x-x_1)(x-x_2) = 0.
  • D < 0, tehdy rovnice nemá v reálném oboru řešení. Jejím řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla x_{1,2}=\frac{-b \plusmn i \sqrt{-D}}{2a}. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru a (x-x_1) (x-x_2) = 0, ovšem kořeny x1,2 jsou nyní komplexní čísla.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • 2x^2 + 9x + 4 = 0
  • D = b^2-4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49
  • x_{1,2}=\frac{-9 \plusmn \sqrt{49}}{2 \cdot 2}
  • x_{1} = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}, x_{2} = \frac{-9 - 7}{4} = -4

Komplexní koeficienty[editovat | editovat zdroj]

V nejobecnějším případě jsou také koeficienty a,b,c komplexní čísla. Řešení získáme opět výpočtem diskriminantu D = b^2 - 4ac a jeho druhé odmocniny v oboru komplexních čísel. Vzorec řešení je stejný jako v případě reálných koeficientů. x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Výsledkem jsou obecně dvě komplexní čísla, mezi nimiž nemusí být žádný vztah. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru a(x-x_1)(x-x_2) = 0. V případě nulového diskriminantu obě řešení splývají v jedno komplexní číslo x_0 a rovnice má tvar a(x-x_0)^2 = 0.

Další rovnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro kořeny rovnice platí následující rovnosti (jedná se o speciální případ tzv. Vièteho vztahů):

  • x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Geometrický význam[editovat | editovat zdroj]

Levá strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a>0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a<0 je otevřená dolů (vrchol je nahoře). Řešení kvadratické rovnice odpovídá hledání průsečíků této paraboly s osou x (pravá strana z rovnice dělá výraz y=0). Podle polohy paraboly mohou nastat tři případy:

  • Parabola leží celá nad (pro a>0) nebo celá pod (pro a<0) osou x. To nastane v případě, že D<0. Tehdy parabola nemá žádný průsečík s osou x, což znamená, že kvadratická rovnice nemá v reálných číslech řešení. Kořeny rovnice jsou 2 komplexně sdružená komplexní čísla.
  • Vrchol paraboly leží právě na ose x. To nastane v případě, že D=0. Tehdy se parabola osy x dotýká, tzn. má s ní jeden společný bod (právě vrchol paraboly), tzn. kvadratická rovnice má jedno řešení.
  • V ostatních případech osa x parabolu protíná ve dvou bodech. To nastane v případě, že D>0. Tehdy existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]