Odmocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí...), pak n-tá odmocnina z objektu a, označovaná jako , je definována jako objekt b, pro který platí . Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně:

Pro libovolné nN definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí . Značíme .

Pro n = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto:

Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že . Značíme .

Přestože platí například a současně také , druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto .

Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například . V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: a .

Odmocnina z nezáporného čísla[editovat | editovat zdroj]

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, m, n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n-tou odmocninu platí tyto vzorce:

Odmocnina ze záporného čísla[editovat | editovat zdroj]

Pokud a je nezáporné číslo, m je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru (tedy je to liché číslo), pak platí:

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

N-tou odmocninu z nezáporného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou . A platí tyto vztahy:

Příklady použití:

Odmocnina z komplexního čísla[editovat | editovat zdroj]

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako , případně v exponenciálním tvaru jako .

Potom hledaná odmocnina je

,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu[editovat | editovat zdroj]

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu () je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421-1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice)[1]

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera,[2] se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.[3]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Juškevič A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 1977, str. 266 - 267.
  2. Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (in Latin).
  3. Juškevič A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 1977, str. 409.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Slovníkové heslo odmocnina ve Wikislovníku