Kořen (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kořenem funkce se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce , v němž funkce nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota splňující rovnici () = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce protíná komplexní rovinu resp. osu souřadnicového systému.

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Polynom jedné proměnné stupně s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše různých komplexních kořenů. Je-li kořenem polynomu , pak dělí a tedy je polynom stupně .[1]

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom  nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení: ; .

Metody výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Přímý výpočet[editovat | editovat zdroj]

Je-li lineární polynom ( kde jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo .

Pro kvadratický polynom (), existují obecně dva kořeny .

Příklad1: rovnice v součinném tvaru

řešení:

;

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.[2]

Příklad2: , hledané řešení:

, kde je kořen a ,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

porovnáním koeficientů u stejné mocniny  vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

Vyřešené hodnoty lze dosadit do rovnice

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo , kvadratická rovnice  nemá v oboru řešení.

Aproximace[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článcích Půlení intervalů a Metoda tečen.

Najdeme-li dva body a , pro které platí , kde  značí znaménkovou funkci signum (), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu , (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce  (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce  (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Algebraicke rovnice. user.mendelu.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online. 
  2. Rovnice vyšších stupňů. kdm.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online. 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Řešené příklady(německy)