Kořen (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (xa) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla ).

Metody výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Přímo[editovat | editovat zdroj]

  • Je-li lineární polynom (tedy , kde a jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo
  • Jde-li o kvadratický polynom (), pak existují obecně dva kořeny .
  • Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací[editovat | editovat zdroj]

Najdeme-li dva body a , pro které platí kde značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno ), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Kořenem funkce (polynomu) je číslo −3, protože f(-3) = 0. Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na .
  • Funkce (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články[editovat | editovat zdroj]